問題#C011

問題#C011 ★★☆☆

$2 \leqq p < q < r$ を満たす整数 $p、q、r$ の組で、$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geqq 1$ となるものをすべて求めよ。


《ポイント》

前問同様、大小関係を利用します。


《解答例》

$2 \leqq p < q < r$ より $$\begin{align} 1&\leqq \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \\ &< \dfrac{3}{p} \end{align}$$ $$\therefore p < 3$$

であり、$2 \leqq p$ であるから $p=2$ である。

よって与式は $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{2}$ となる。

$$\begin{align}\dfrac{1}{2}&= \dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \\ & < \dfrac{2}{q} \end{align}$$ $$\therefore q=3$$

これより $(q,r)=(3,4)$、$(3,5)$、$(3,6)$ を得る。

以上より、求める正の整数 $p、q、r$ の組は

$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$

である。

(答)$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$


《コメント》

大小関係の設定は方程式だけでなく、本問のような不等式を解く際にも有用です。

(出典:群馬大(社会情報)2010年第5問など)


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