問題#C016

問題#C016　★★☆☆

次の条件を満たす整数 $l、m、n$ を求めよ。

$lmn+l+m+n=mn+nl+lm+15$、$l>m>n>0$

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《ポイント》

因数分解すると $l、m、n$ が定まります。

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《解答例》

与式を変形すると、$$(l-1)(m-1)(n-1)=14(1\cdot 2\cdot 7)$$となる。$0\leqq n-1<m-1<l-1$ であるから、$l-1=7$、$m-1=2$、$n-1=1$ となる。よって求める整数は $l=8$、$m=3$、$n=2$ である。

（答）$l=8$、$m=3$、$n=2$

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《コメント》

3元不定方程式が単純な因数分解で片付くという珍しい問題です。絞り込みも可能ですが非常に回りくどい解法になってしまいます。文字の項の係数がすべて$1$なので因数分解できそうだと直感できるようになって欲しいところです。本問の出典は1981年の法政大で、参考書でも取り上げられることがある問題なので、どこかで見たことがある人もいるかもしれません。

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