培風館『入門微分積分』第4章・問題4.1.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.1.2
（１） $z=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \ ((x,y) \ne (0,\ 0))$
（２） $z=\dfrac{x+y^3}{x^2+y^2} \ \ ((x,y) \ne (0,\ 0))$
解法の要点
余談ではありますが「3D Graphing – GeoGebra」などの３D描画ソフトがウェブ上で無料で利用できますので、3次式プロットの具体的なイメージの湧かない方は一度使ってみると良いかもしれません。
解答例
$z=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \ ((x,y) \ne (0,\ 0))$
$xz$平面の方程式は $y=0$ であるから、$xz$平面による切口の図形の方程式は$$z=\dfrac{x^2-0^2}{x^2+0^2}$$ $$\therefore z=1$$となる。$yz$平面の方程式は $x=0$ であるから、$yz$平面による切口の図形の方程式は$$z=\dfrac{0^2-y^2}{0^2+y^2}$$ $$\therefore z=-1$$となる。したがって、それぞれ図示すると以下のようになる。
$xz$平面による切口（但し $x \ne 0$）
$yz$平面による切口（但し $y \ne 0$）
（２）
$z=\dfrac{x+y^3}{x^2+y^2} \ \ ((x,y) \ne (0,\ 0))$
$xz$平面の方程式は $y=0$ であるから、$xz$平面による切口の図形の方程式は$$z=\dfrac{x+0^3}{x^2+0^2}$$ $$\therefore z=\dfrac{1}{x}$$となる。$yz$平面の方程式は $x=0$ であるから、$yz$平面による切口の図形の方程式は$$z=\dfrac{0+y^3}{0^2+y^2}$$ $$\therefore z=y$$となる。したがって、それぞれ図示すると以下のようになる。
$xz$平面による切口
$yz$平面による切口（但し $y \ne 0$）