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問題4.3.4
z=f(x,y)、x=rcosθ、x=rsinθ のとき、次の関係式を示せ。zxx+zyy=zrr+1rzr+1r2zθθ
《ポイント》
本問はラプラシアンΔを極座標表示された関数に対して適用するときの関係式の証明問題です。この式を暗記するというよりは導出方法を身に付けるべきでしょう。
《解答例》
∂z∂r=∂z∂x∂x∂r+∂z∂y∂y∂r=∂z∂xcosθ+∂z∂ysinθとなるから、∂2z∂r2=∂∂r∂z∂xcosθ+∂∂r∂z∂ysinθ=∂∂x∂z∂rcosθ+∂∂y∂z∂rsinθ=∂∂x(∂z∂xcosθ+∂z∂ysinθ)cosθ +∂∂y(∂z∂xcosθ+∂z∂ysinθ)sinθ=∂2z∂x2cos2θ+∂2z∂x∂ysinθcosθ+∂2z∂y2sin2θとなる。
また、∂z∂θ=∂z∂x∂x∂θ+∂z∂y∂y∂θ=∂z∂x(−rsinθ)+∂z∂yrcosθとなるから、∂2z∂θ2=∂∂θ{∂z∂x(−rsinθ)}+∂∂θ{∂z∂y(rcosθ)}={∂∂θ(∂z∂x)}(−rsinθ)+∂z∂x(−rcosθ) +{∂∂θ(∂z∂y)}(rcosθ)+∂z∂x(−rsinθ)={∂∂x(∂z∂θ)}(−rsinθ)+∂z∂x(−rcosθ) +{∂∂y(∂z∂θ)}(rcosθ)+∂z∂x(−rsinθ)=∂2z∂x2(r2sin2θ)−2∂2z∂x∂y(r2sinθcosθ) +∂2z∂y2(r2cos2θ)+∂z∂x(−rcosθ)+∂z∂y(−rsinθ)となる。
題意の関係式の右辺 ∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2 を計算すると ∂2z∂x2+∂2z∂y2 に一致するから、zxx+zyy=zrr+1rzr+1r2zθθが成立することが示された。
復習例題は設定していません。
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