微積5.1.3

（１）$\displaystyle \int^{1}_{-1}dx \int^{2\sqrt{1-x^2}}_{0} f(x,y)\ dy$

$y=2\sqrt{1-x^2}$ を$x$について解くと$$x=\pm\dfrac{\sqrt{4-y^2}}{2}$$となるから、$x:-1 \to 1$ のとき $y:0 \to 2$ である。よって、

$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{1}_{-1}dx \int^{2\sqrt{1-x^2}}_{0} f(x,y)\ dy \\ &=\displaystyle \int^{2}_{0}dy \int^{\frac{\sqrt{4-y^2}}{2}}_{-\frac{\sqrt{4-y^2}}{2}} f(x,y)\ dx \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$

となる。

（２）$\displaystyle \int^{1}_{-2}dx \int^{-x+2}_{x^2} f(x,y)\ dy$

積分領域を図示すると以下のようになる。

よって、

$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{1}_{-2}dx \int^{-x+2}_{x^2} f(x,y)\ dy \\ &=\displaystyle \int^{1}_{0}dy \int^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}} f(x,y)\ dx + \int^{4}_{1}dy \int^{2-y}_{-\sqrt{y}} f(x,y)\ dx \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$

となる。

（３）$\displaystyle \int^{4}_{0}dy \int^{2\sqrt{y}}_{y} f(x,y)\ dx$

積分領域を図示すると以下のようになる。

よって

$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{4}_{0}dy \int^{2\sqrt{y}}_{y} f(x,y)\ dx \\ &=\displaystyle \int^{4}_{0}dx \int^{x}_{\frac{x^2}{4}} f(x,y)\ dy \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$

となる。

（４）$\displaystyle \int^{4}_{0}dy \int^{\sqrt{y}}_{y-2} f(x,y)\ dx$

積分領域を図示すると以下のようになる。

よって

$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{4}_{0}dy \int^{\sqrt{y}}_{y-2} f(x,y)\ dx \\ &=\displaystyle \int^{0}_{-2}dx \int^{x+2}_{0} f(x,y)\ dy + \int^{2}_{0}dx \int^{x+2}_{x^2} f(x,y)\ dy \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$

となる。