微積5.3.6

$(0,0) \not\in D$ のとき $P(x,y)=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$、$Q(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ は領域$D$において$C^1$級で$$P_y(x,y)=Q_x(x,y) \left(=\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)$$を満たす。よって、$$\begin{align}\displaystyle \int_{\partial D}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&=\int_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy \\ &=\iint_{D}\left(Q_x(x,y)-P_y(x,y)\right)dxdy \\ &=0 \end{align}$$となる。

$(0,0) \in D$ のとき、領域$D$を、原点を含む半径$r$の円$C\ (\in D)$と、領域$D$から領域$C$を除いた領域$E$に分ける。このとき、$$\displaystyle \int_{\partial D}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\int_{E}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}+\int_{C}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$$となる。領域$E$は原点を含まないので、$\displaystyle \int_{E}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$は前半の議論により$0$となる。したがって$$\displaystyle \int_{\partial D}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\int_{C}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$$となる。

ここで $\theta$（$\theta:0 \to 2\pi$）をパラメータとして $x=r \cos \theta$、$y=r \sin \theta$ と置くと、$dx=-r \sin \theta \ d\theta$、$dy=r \cos \theta \ d\theta$ となるから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int_{C}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2} \\ &=\int^{2\pi}_{0}\dfrac{-r \sin \theta\cdot (-r \sin \theta)+r \cos \theta \cdot r \cos \theta}{r^2}d\theta \\ &=\int^{2\pi}_{0}(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)d\theta \\ &=\int^{2\pi}_{0}d\theta \\ &=2\pi \end{align}$$と求められる。

以上により、関係式$$\displaystyle \int_{\partial D}\dfrac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\begin{cases} 2\pi &((0,0) \in D) \\ \ 0 &((0,0) \not\in D) \end{cases}$$が成り立つことが示された。

※領域$D$を分割する際、原点を含む領域は必ずしも円である必要はないのですが、その後の計算のしやすさを考えると円で分割するのが最も適切な方法だと言えます。