問題6.2.1a
つぎの整級数の収束半径を求めよ。
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} n x^n$
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} n! x^n$
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{x^{2n}}{2^n}$
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{{n}^n}{n!}x^n$
《ポイント》
定理6.2.3により収束半径を計算します。
《解答例》
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} n x^n$
$a_{n}=n$ とすると、$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim _{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1$$となるから、収束半径は$$r=1 \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} n! x^n$
$a_{n}=n!$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\ =& \lim _{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} \\ =& \lim _{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=0 \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=0 \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{x^{2n}}{2^n}$
$t=x^2$ と置くと$$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{x^{2n}}{2^n}=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{t^{n}}{2^n}$$となる。右辺の収束半径は$$\begin{align} & \lim _{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a_{n}}} \\ =& \lim _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\dfrac{1}{2^n}}} \\ =& \lim _{n \to \infty} 2 \\ =& 2 \end{align}$$となるから、元の級数の収束半径は$$r=\sqrt{2} \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{{n}^n}{n!}x^n$
$a_{n}=\dfrac{{n}^n}{n!}$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{{n}^n}{n!}\cdot\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ =& \lim _{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \\ =& \lim _{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \\ =& \lim _{n \to \infty} \left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right\}^{-1} \\ =& \lim _{n \to \infty} \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}^{-1} \\ =& e^{-1} \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=\dfrac{1}{e} \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
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