一般化二項定理と等比級数を利用して、4つの関数のマクローリン展開を求めます。各式の収束範囲も併記します。
問題6.2.2a
次の関数の整級数展開（マクローリン展開）を求めよ。
-
- $\sqrt{1+x^2}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
- $\log\!\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
- $\dfrac{1}{x^2+2x-3}$
解法の要点
次の2つの展開を使います。
\[ \frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n\quad (|t|<1), \qquad (1+t)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^n\quad (|t|<1). \]
ただし、
\[ \binom{\alpha}{0}=1,\qquad \binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\quad(n\ge 1) \]
です。（3）は（2）の結果を積分し、（4）は部分分数分解してから等比級数へ帰着します。
解答例
（1）$\sqrt{1+x^2}$
一般化二項定理で $\alpha=\dfrac12$、$t=x^2$ とおくと、
\[ \begin{aligned} \sqrt{1+x^2} &=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n}\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{(2n)!!}x^{2n}\\ &=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8} +\frac{x^6}{16}-\frac{5x^8}{128}+\cdots . \end{aligned} \]
収束半径は $1$ であり、$x=\pm1$ でも収束します。
（2）$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\alpha=-\dfrac12$、$t=x^2$ とおけば、
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} &=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}x^{2n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}\\ &=1-\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8} -\frac{5x^6}{16}+\frac{35x^8}{128}-\cdots . \end{aligned} \]
収束半径は $1$ であり、$x=\pm1$ では条件収束します。
（3）$\log\!\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
$f(x)=\log\!\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ とおくと、
\[ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. \]
（2）の級数を $0$ から $x$ まで項別積分すると、$f(0)=0$ なので、
\[ \begin{aligned} \log\!\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1}\\ &=x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40} -\frac{5x^7}{112}+\frac{35x^9}{1152}-\cdots . \end{aligned} \]
収束半径は $1$ であり、$x=\pm1$ でも収束します。
（4）$\dfrac{1}{x^2+2x-3}$
まず部分分数分解すると、
\[ \frac{1}{x^2+2x-3} =\frac14\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+3}\right). \]
これを等比級数の形に直せば、
\[ \begin{aligned} \frac{1}{x^2+2x-3} &=-\frac14\left( \frac{1}{1-x} +\frac{1}{3}\frac{1}{1+x/3} \right)\\ &=-\frac14\sum_{n=0}^{\infty} \left(1+\frac{(-1)^n}{3^{n+1}}\right)x^n . \end{aligned} \]
原点に最も近い特異点は $x=1$ なので、収束範囲は $|x|<1$ です。
二重階乗では $(-1)!!=0!!=1$ と約束します。この約束により、（2）の和を $n=0$ から簡潔に表せます。