問題7.1.3b
次の微分方程式を解け（同次形）。
（３）$y’=\dfrac{x-y}{x+y}$
（４）$y’=\dfrac{y^2-x^2}{xy}$
《ポイント》
次の形の方程式を同次形の微分方程式と言います。$$\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$このタイプの微分方程式は、$y=xz$ と置けば $z$ に関する変数分離形の方程式として解くことができます。
《解答例》
$y=xz$ と置くとき、$y^{\prime}=z+x z^{\prime}$ となることに注意する。
（３）$y’=\dfrac{x-y}{x+y}$
$y=x z$ と置くと $z+x \dfrac{d z}{d x}=\dfrac{1-z}{1+z}$ となる。これを整理すると$$\frac{1+z}{1-2 z-z^{2}}\cdot \frac{d z}{d x}=\dfrac{1}{x}$$となるので
$$\int \frac{1+z}{z^{2}-2 z-1} d z=-\int \frac{1}{x} d x+c_{1}$$ $$\therefore \frac{1}{2} \log \left|z^{2}-2 z-1\right|=-\log |x|+c_{1}’$$ $$\therefore \log \left|\frac{y^{2}-2 x y-x^{2}}{x^{2}}\right|=\log \frac{c_{2}}{x^{2}}\quad (c_2 := e^{2c_{1}’})$$ $$\therefore x^{2}-2 x y-y^{2}=c \quad \cdots (\text{答})$$を得る。ただし、$c$は任意の実数である。
（４）$y’=\dfrac{y^2-x^2}{xy}$
$y=xz$、$y^{\prime}=z+x z^{\prime}$ を代入すると、$$\begin{align} z+x z^{\prime}&=\frac{x^{2} z^{2}-x^{2}}{x^{2} z} \\ \therefore x z^{\prime}&=-\frac{1}{z} \end{align}$$となる。これより$$z\,d z=-\frac{d x}{x}$$となるので、両辺の積分を実行して、$$\int z d z=-\int \frac{1}{x} d x+c_{1}$$ $$\frac{1}{2} z^{2}=-\log |x|+c_{1}$$ $$x^{2} \log x^{2}+y^{2}=c x^{2} \quad \cdots (\text{答})$$を得る。ただし、$c$は任意の実数である。
復習例題は設定していません。