問題1.2.8
$n$ 次正方行列 $A=[a_{ij}]$ が上三角行列であるとは $a_{ij}=0\ (i>j)$ のときにいう。上三角行列の和、差、積は上三角行列であることを示せ。
ポイント
式変形で解決可能です。
解答例
$A=\left[a_{i j}\right]$、$B=\left[b_{i j}\right]$ が共に上三角行列とすると $a_{i j}=b_{i j}=0 \quad(i>j)$ である。
$C=A \pm B=\left[c_{i j}\right]$ と置くと$$c_{i j}=a_{i j} \pm b_{i j}=0 \quad(i>j)$$となる。よって上三角行列の和および差は上三角行列である。
また $D=AB=\left[d_{i j}\right]$ と置くと、$i>j$ ならば$$\begin{aligned} d_{i j} &=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} \\ &=\sum_{k=1}^{i-1} a_{i k} b_{k j}+\sum_{k=i}^{n} a_{i k} b_{k j} \end{aligned}$$ であり $1 \leq k \leq i-1 $ ならば $a_{i k}=0$ となる。
$i \leqq k \leqq n$ ならば $j<i \leqq k$ であるから $b_{k j}=0$ となるので $d_{i j}=0$ が成り立つ。よって上三角行列の積は上三角行列である。