問題2.4.1
次の行列の逆行列を求めよ。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}-3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
（５）$\left[\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3\end{array}\right]$
ポイント
右側に単位行列を付け足した $[A \mid E]$ という行列について、$A$の部分を簡約化すると自動的に$E$の部分が逆行列に変形されます。詳しい原理については教科書を参照してください。
また、そもそも正則な行列でなければ逆行列をもちません。実は正則でないのに計算を始めてしまう、などということの無いようにしましょう…。
解答例
（１）
$$\begin{array}{ccc:cccl}
\hline 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
2 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 1 & -2 & ②+① \times (-2) \\
0 & -1 & 2 & 1 & 0 & -2 & ③+① \times (-2) \\
\hline 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 2 & ② \times (-1) \\
0 & -1 & 2 & 1 & 0 & -2 \\
\hline 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & ③+② \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & ①+③ \\
0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 2 & ②+③ \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\
\hline
\end{array}$$となるから、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{lll}
1 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 2 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$と求められる。
（２）
$$\begin{array}{ccc:cccl}
\hline-3 & -6 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 5 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
-3 & -6 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 5 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -1 & 1 & 0 & 3 & ②+① \times 3 \\
0 & -4 & 1 & 0 & 1 & -3 & ③+① \times (-3) \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -2 & ①+② \times (-1) \\
0 & 1 & -1 / 3 & 1 / 3 & 0 & 1 & ② \times 1/3 \\
0 & -4 & 1 & 0 & 1 & -3 \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & -1 / 3 & 1 / 3 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 / 3 & 4 / 3 & 1 & 1 & ③+② \times 4 \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & ②+③ \times (-1) \\
0 & 0 & 1 & -4 & -3 & -3 & ③ \times (-3) \\
\hline
\end{array}$$となるから、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & -2 \\
-1 & -1 & 0 \\
-4 & -3 & -3
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$と求められる。
（３）
$$\begin{array}{ccc:cccl}
\hline 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 & -1 & 1 & 0 & ②+① \times (-1) \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & ③+① \\
\hline 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 / 2 & 1 / 2 & 0 & ② \times 1/2 \\
0 & 0 & 1 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 & ③ \times 1/2 \\
\hline 1 & 0 & -2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & ①+② \\
0 & 1 & 1 & -1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 3 / 2 & 1 / 2 & 1 & ①+③ \times 2 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 / 2 & -1 / 2 & ②+③ \times (-1) \\
0 & 0 & 1 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\
\hline
\end{array}$$となるから、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 1 \\
-1 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$と求められる。
（４）
$$\begin{array}{cccc:cccc}
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & ①+② \times (-1) \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & ②+③ \times (-1) \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & ③+④ \times (-1) \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}$$となるから、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$と求められる。
（５）
$$\begin{array}{cccc:cccc}
\hline 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & ①+③ \times (-1) \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & ②+④ \times (-1) \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & ③+① \times (-1) \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -3 & 0 & -2 & ④+② \times (-3) \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -3 & 2 & -2 & ④+③ \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -3 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}$$となるから、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 0 \\
-1 & -3 & 2 & -2 \\
-1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$と求められる。