問題3.3.5
$A$、$B$、$C$ が$n$次正方行列のとき、$\left|\begin{array}{ll}
A & B \\
C & O
\end{array}\right|$ を求めよ。
解法の要点
行を$n$回入れ替えることにより下三角行列に直します。零行列を含むブロック行列の行列式は対角部分の行列の行列式の積になります。詳しくは「零行列を含むブロック行列の行列式を簡単に求める方法」の記事を参考にして下さい。
解答例
行を$n$回入れ替えることにより、$$\begin{align}\left|\begin{array}{cc}
A & B \\
C & O
\end{array}\right|&=(-1)^{n}\left|\begin{array}{ll}
C & O \\
A & B
\end{array}\right| \\
&=(-1)^{n}\mathrm{det}(B)\mathrm{det}(C) \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$を得る。