問題3.4.3
次の行列の行列式の与えられた行または列に関する余因子展開を書け。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5\end{array}\right]$（第$3$行）
（２）$\left[\begin{array}{rrr}1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1\end{array}\right]$（第$2$列）
解法の要点
$n$次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いて得られる $n-1$ 次正方行列を $A_{ij}$ と書きます。すなわち$$A_{i j}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & \color{red}{a_{1 j}} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\
\color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_{i j}} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_{i n}} \\
\vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & \color{red}{a_{n j}} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]$$の赤字部分を取り去ったものを $A_{ij}$ と表します。このとき、元の行列$A$の行列式は$$|A|=(-1)^{1+j} a_{1 j}\left|A_{1 j}\right|+\cdots+(-1)^{n+j} a_{n j}\left|A_{n j}\right|$$と書き下すことができます。これを「$A$の行列式$|A|$の第 $j$ 列に関する余因子展開」と呼びます。余因子展開は列だけでなく行に対しても与えられます。
余因子展開における符号は次のような表を描いて間違えないようにすると良いでしょう。$$\left|\begin{array}{ccc}
+ & – & + \\
– & + & – \\
+ & – & +
\end{array}\right|$$
解答例
（１）
$\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5\end{array}\right]$（第$3$行）
$$\small \begin{align}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5\end{array}\right| \\
&=(-1)^{3+1}\cdot 0\left|\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
3 & -2
\end{array}\right|+(-1)^{3+2}\cdot 6\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{array}\right|+(-1)^{3+3}\cdot 5\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right| \\
&=-6\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & -2
\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right| \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$$
（２）
$\left[\begin{array}{rrr}1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1\end{array}\right]$（第$2$列）
$$\small \begin{align}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{rrr}1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1\end{array}\right| \\
&=(-1)^{1+2}\cdot x\left|\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right|+(-1)^{2+2}\cdot y\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right|+(-1)^{3+2}\cdot z\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right| \\
&=x\left|\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right|+y\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right| \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$$