問題4.2.4
次の命題の正否を調べ,証明または反例をあげよ。
（１）$\boldsymbol{u}_{1}$ と $\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{2}$ と $\boldsymbol{u}_{3}$、$\boldsymbol{u}_{1}$ と $\boldsymbol{u}_{3}$が1次独立ならば $\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$は１次独立
（２）$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{1}+\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{1}+\boldsymbol{u}_{2}+\boldsymbol{u}_{3}$ が1次独立ならば $\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$は１次独立
（３）$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$の中に零ベクトルがあれば$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は１次従属
ポイント
ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$$(*) \quad c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n}=0 \quad\left(c_{i} \in \boldsymbol{R}\right)$$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。
解答例
（１）
否 ･･･（答）
例えば $u_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$、$\boldsymbol{u}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$、$\boldsymbol{u}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$ は１次従属である。
（２）
正 ･･･（答）
$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$が１次従属ならばその中の１つ、例えば$\boldsymbol{u}_{3}$は$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$の１次結合で書ける。（定理4.2.2）
これを$\boldsymbol{v}_{1}$、$\boldsymbol{v}_{2}$、$\boldsymbol{v}_{3}$に代入すると３個のベクトルが２個のベクトルで書けることになり、定理4.2.3より１次従属となる。
（３）
正 ･･･（答）
例えば $\boldsymbol{u}_{1}=0$ ならば$$1 \boldsymbol{u}_{1}+0 \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+0 \boldsymbol{u}_{m}=\mathbf{0}$$は自明でない１次関係を与えるから$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は１次従属となる。