整数$n$に対する$\displaystyle\int\frac{x^n}{x^3 + 1}\,dx$を、基本形と漸化式で整理します。公式を個別に覚えるより、指数を3ずつ下げる方法を理解すると、任意の整数$n$に対応できます。
分母が0になる$x=-1$を除きます。$n<0$では$x=0$も除きます。以下の原始関数は、被積分関数が連続な各区間で成立します。$\ln$は自然対数、$\arctan$は主値の逆正接関数です。積分定数$C$は区間ごとに選べます。
1．指数を下げる漸化式
$I_n=\int x^n/(x^3 + 1)\,dx$とおきます。$n\ge 3$について、割り算から次の関係が得られます。漸化式は積分定数の差を除いて書いています。
$$I_n=\frac{x^{n-2}}{n-2}-I_{n-3}.$$
これは$\displaystyle\frac{x^n}{x^3 + 1}=x^{n-3}-\frac{x^{n-3}}{x^3 + 1}$を積分したものです。$I_0,\ldots,I_{2}$が分かれば、すべての非負整数$n$を扱えます。
2．基本となる原始関数
$$\int \frac{1}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$$\int \frac{x}{x^{3} + 1}\,dx=- \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
分母を$x^3 + 1=(x+1)(x^2-x+1)$と因数分解し、一次因子の分数と二次因子の分数に分けます。二次因子は平方完成すると$3/4$の正の定数が残るため、逆正接の項が現れます。$I_2$は分母の微分を使う対数型です。
3．負の整数$n$を扱う方法
$n=-1$では、$\displaystyle\frac1{x(x^3 + 1)}=1\left(\frac1x-\frac{x^{2}}{x^3 + 1}\right)$と分けます。
$$I_{-1}=\ln\left|x\right| – \frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
$n\le-2$では、関係式$I_{n+3}=x^{n+1}/(n+1)-(1)I_n$を逆向きに解けば、指数を上げて既知の形へ帰着できます。
4．$n=-6$から$n=10$までの公式
各式は右辺を微分することで確認できます。長い式は横へスクロールして読めます。
$n=-6$の公式
$$\int \frac{1}{x^{6} \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=\frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3} + \frac{1}{2 x^{2}} – \frac{1}{5 x^{5}}+C.$$
$n=-5$の公式
$$\int \frac{1}{x^{5} \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=- \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3} + \frac{1}{x} – \frac{1}{4 x^{4}}+C.$$
$n=-4$の公式
$$\int \frac{1}{x^{4} \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=- \ln\left|x\right| + \frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3} – \frac{1}{3 x^{3}}+C.$$
$n=-3$の公式
$$\int \frac{1}{x^{3} \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=- \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3} – \frac{1}{2 x^{2}}+C.$$
$n=-2$の公式
$$\int \frac{1}{x^{2} \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=\frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3} – \frac{1}{x}+C.$$
$n=-1$の公式
$$\int \frac{1}{x \left(x^{3} + 1\right)}\,dx=\ln\left|x\right| – \frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
$n=0$の公式
$$\int \frac{1}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=1$の公式
$$\int \frac{x}{x^{3} + 1}\,dx=- \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=2$の公式
$$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
$n=3$の公式
$$\int \frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\,dx=x – \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=4$の公式
$$\int \frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=5$の公式
$$\int \frac{x^{5}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{3}}{3} – \frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
$n=6$の公式
$$\int \frac{x^{6}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{4}}{4} – x + \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=7$の公式
$$\int \frac{x^{7}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{5}}{5} – \frac{x^{2}}{2} – \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=8$の公式
$$\int \frac{x^{8}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{6}}{6} – \frac{x^{3}}{3} + \frac{\ln\left|x^{3} + 1\right|}{3}+C.$$
$n=9$の公式
$$\int \frac{x^{9}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{7}}{7} – \frac{x^{4}}{4} + x – \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
$n=10$の公式
$$\int \frac{x^{10}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{8}}{8} – \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
5．漸化式を使う例
$n=4$なら$I_{4}=x^2/2-I_1$なので、上の基本形を代入するだけです。
$$\int \frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\,dx=\frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln\left|x + 1\right|}{3} – \frac{\log{\left(x^{2} – x + 1 \right)}}{6} – \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \left(2 x – 1\right)}{3} \right)}}{3}+C.$$
対数の絶対値は、実数の原始関数として使える区間を保つために必要です。複素対数を使う場合は枝を指定する別の議論になります。分母の零点をまたぐ定積分は、原始関数の端点評価だけで済ませず、広義積分として収束を確認してください。