解答公募問題集

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このページは管理人の思索過程で生じた問題を集めた物置きです。オリジナル模試の没問題の墓場も兼用しています。当然ながら(？)解答例は置いてありませんし、中には解答不能なものも混じっている気がします。一般公開用の処理はしていないので悪しからず･･･。

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●2019/11/24（post=8123に関連）

$\dfrac{e^x-e^y}{e^{x^2+1}+2e^{x+2y^2}}$ の最大・最小は？

$\dfrac{e^x-xe^y}{e^{x^2+1}+2e^{x+2y^2}}$ の最大・最小は？

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●2019/11/24（二項定理）

$\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_{2k}\mathrm{C}_k \cdot {}_{2n-2k}\mathrm{C}_{n-k}=4^n$ を示せ。

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{{}_{n}\mathrm{C}_k} = 2$ を示せ。

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●2019/12/09（カレンダーに関する計算問題）

月によっては1か月が6週にまたがっている月がある。では、1年にそのような月は最大で幾つ含まれるだろうか？

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●2019/12/09（”2019年 京大特色 総合人間学部” を基に）

曲線 $C$ : $y = f(x)$ を、実数 $a$、$b$、$c$ に対し $f(x) = x^3+ ax^2 + bx + c$ で定める。こ のとき、$C$上に相異なる２点が存在し、各々の点における$C$の法線が一致するための必要十分条件を求めよ。

3次関数の場合は $\dfrac{a^2}{3}-b\geqq \sqrt{3}$ が求める必要十分条件であるが、４次関数の場合はどのようになるだろうか？

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●2019/12/10

$a$、$b$、$c$、$d$ は $a+b+c+d=1$ を満たすような正の実数であるとする。正の整数$n$に対して、$$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+d}+\dfrac{c^n}{d+a}+\dfrac{d^n}{a+b} \geqq \dfrac{1}{2^{2n-3}}$$が成り立つことを示せ。

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●2020/06/07

原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$、点$(2,2)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする。$C_1$および$C_2$に内接または外接する円の中心を$\mathrm{P}$とするとき、点$\mathrm{P}$の動く軌跡を座標平面上に図示せよ。

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●2020/06/07

曲線 $y=\left|x|x+a|-a\right|$ の接線で原点を通るものが存在するような実数$a$の範囲を求めよ。

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●2020/06/17

${}_{2020} \mathrm{C}_n \ (1 \leqq n < 2020)$ で定まる数列の2019項のうち奇数であるものは何個か。

これは意外と難しいかもしれません･･･。$2020$を$2$進数で表示すると、$$2020_{(10)}=11111100100_{(2)}$$となります。これがヒントにならないという方は、${}_{26} \mathrm{C}_n \ (1 \leqq n < 26)$ くらいで「実験」してみて下さい。因みに$26$を$2$進数で表示すると、$$26_{(10)}=11010_{(2)}$$となります。

勿論、腕力で解いてしまっても良いですが･･･。

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