問題#B003

問題#B003 ★★☆☆

$3$を足すと$5$で割り切れ、$4$を足すと$7$で割り切れるような正の整数のうち5番目に大きなものを求めよ。


《ポイント》

各条件を式に直すことが第一手です。$35$で割ったときの余りを考えることになります。


《解答例》

題意の整数を$N$とする。

負でない整数$k$を用いて $N=35k+l$( $l$ は$0 \leqq l \leqq 34$を満たす整数)と表すと、$N$は$4$を足すと$7$で割り切れるから $l=3$、$10$、$17$、$24$、$31$に限られる。また、$N$は$3$を足すと$5$で割り切れるから $l=17$ に限られる。

故に$N$は $N=35k+17$ と表すことができるから、5番目に大きなものは $k=4$ として$157$と求められる。

(答)$157$


《コメント》

1次不定方程式 $5n-3=7m-4$ を解いても良いですがやや回りくどいので、上記のような簡潔な解答で良いと思います。


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