問題#B015 ★★☆☆
$k$および$n$を正の整数とするとき、$n^{k+4}$と$n^k$の下一桁の数は一致することを示せ。
《ポイント》
下一桁の数がテーマの問題を解く上では
「下一桁の数字が一致する」⇔「差が$10$で割り切れる」
という関係を頭に入れておかなければなりません。
《解答例》
$$n^{k+4}-n^k=n^k(n^4-1)$$となる。ここで、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ n(n^4-1)\\
&=n(n^2-1)(n^2+1) \\
&=(n-1)n(n+1)\{(n^2-4)+5\} \\
&=(n^2-4)(n-1)n(n+1)+5(n-1)n(n+1) \\
&=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) \\
\end{align}$
となり、$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ は隣接5整数の積であるから$120$の倍数、$5(n-1)n(n+1)$ は隣接3整数の積に$5$を乗じているから$30$の倍数となる。故に $n(n^4-1)$ は$10$の倍数となるから$n^{k+4}$と$n^k$の下一桁の数は一致する。
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《コメント》
$5$を法とした合同式を利用してもOKです。下一桁の数字というのは要するに$10$で割ったときの余りのことです。余りが一致することを示すには差を取るのが最善です。
（出典：防衛医大1983年第1問）