培風館『入門微分積分』第1章・問題1.2.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.2.2
次の関数は $x=0$ で連続かどうか答えよ。
（１）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ 1 & (x=0) \end{cases} $
（２）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ 1 & (x=0) \end{cases} $
解法の要点
範囲外ですが、似た表現に「微分可能」というものがありました。こちらは直感的に言うと「グラフが滑らかに繋がっている」ことを意味しています。微分可能性の概念は第２章で扱います。
解答例
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$より、$f(x)$は$x=0$で連続である。
（２）
$0 \leqq \left| x \sin \dfrac{1}{x} \right| \leqq x \stackrel{(x \to 0)}{\to} 0$ より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x}=0$であるから、$f(x)$は$x=0$で連続でない。
《コメント》
いずれも極限を求めるだけなので大した計算は不要ですね。また、（２）の関数は1.2の1.（３）と同一です。
復習例題1.2.2
次の関数は $x=0$ で連続かどうか答えよ。
（１）$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x}{|x|}$
（２）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{e^x-1} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ 1 & (x=0) \end{cases} $