培風館『入門微分積分』第1章・問題1.4.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.4.2
数列$\{a_n\}$が$\infty$に発散することについて、$\varepsilon$論法と同じ形式の定義を与えよ。
解法の要点
こちらも教科書にちゃんと解答が書いてあります。
発散するということは上から抑えられないということです。これを文字の力で定式化します。
解答例
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\infty$とは、どのような正の実数$M$が与えられても$n>N$ならば常に$a_n>M$となるような自然数$N$が存在することを意味している。
（おまけ）
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$とは、どのような正の実数$M$が与えられても$x>c$ならば常に$f(x)>M$となるような正の実数$c$が存在することを意味している。
《コメント》
「$n$が大きくなればどんな実数の定数でも上から抑えられない」
ということは、
「$n$が大きくなれば、いかなる実数の定数をも上回る」
ということを意味します。