培風館『入門微分積分』第2章・問題2.1.1cの解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題2.1.1c
次の関数の導関数を求めよ。
（１６）$\sinh x$
（１７）$\cosh x$
（１８）$\tanh x$
解法の要点
これらの関数は、標準形の双曲線をパラメータ表示するときに現れることから、「双曲線関数」と呼ばれています。それぞれ、$$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$と表すことができ、特に$\sinh x$や$\cosh x$は二階の線型微分方程式の解になることが知られています。双曲線関数について、三角関数と類似した関係が成立することは知っておきましょう。三角関数の場合と同様に加法定理が成立することもよく知られています。
解答例
（１６）
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} (\sinhx )=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \right) =\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} (\sinhx )=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \right) =\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
※$(\sinh x )^{´}=\cosh x$が成立します。
（１７）
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} (\coshx )=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \right) =\dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
※$(\cosh x )^{´}=\sinh x$が成立します。
（１８）
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} (\tanhx ) \\ &=\dfrac{d}{dx} \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\ &=\dfrac{(e^x+e^{-x} )^2-(e^x-e^{-x} )^2}{(e^x+e^{-x} )^2} \\ & =\dfrac{4}{(e^x+e^{-x} )^2} \\ &= \left( \dfrac{2}{e^x+e^{-x}} \right)^2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
※$(\tanh x )^{´}=\dfrac{1}{\cosh^2 x}$ が成立します。