培風館『入門微分積分』第2章・問題2.1.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題2.1.2
次の曲線の与えられた点における接線を求めよ。
（１）$x \log x$ $(x=1)$
（２）$\tan^{-1}\dfrac{x^2}{2}$ $(x=\sqrt{2})$
解法の要点
$f(x)$の $x=a$ における接線は$$f'(a)(x-a)+f(a)$$で与えられます。ある曲線 $y=f(x)$ の接線を求めるためには1次の導関数が必要となりますが、これは $x=a$ における接線が曲線 $y=f(x)$ の「1次近似」であることに相当します。
解答例
（１）
$f(x)=x \log x$とする。
$x=1$における接線は$y=f'(1)(x-1)+f(1)$となるから、$$\dfrac{d}{dx} (x \logx )=\logx+1$$より、$$∴ y=x-1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $$と求められる。
（２）
$f(x)=\tan^{-1}\dfrac{x^2}{2}$ とする。
$x=\sqrt{2}$ における接線は$$y=f'(\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+f(\sqrt{2})$$となるから、$\dfrac{d}{dx} \left( \tan^{-1}\dfrac{x^2}{2} \right)= \dfrac{x}{1+\left( \dfrac{x^2}{2} \right)^2}$より、$$∴y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (x-\sqrt{2})+\tan^{-1} 1$$ $$∴y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} x-1+\dfrac{\pi}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $$と求められる。
復習例題未設定