培風館『入門微分積分』第2章・問題2.2.5の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題2.2.5
（１）$\begin{cases} x=t^2+1 \\ y=e^t \end{cases}$ $P(2,e)$
（２）$\begin{cases} x=\log (t^3+t) \\ y=\tan^{-1} t \end{cases}$ $P\left( \log 2, \dfrac{\pi}{4} \right)$
解法の要点
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}$ の関係は接線を求める上で特に重要です。
解答例
Ｃ：$\begin{cases} x=t^2+1 \\ y=e^t \end{cases}$ より、$\dfrac{dx}{dt}=2t、 \dfrac{dy}{dt}=e^t$ であるから、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{e^t}{2t}$ である。故に点$P(2,e)$における接線は$t=1$のときに与えられ、方程式は
$y=\dfrac{e}{2} (x-2)+e$
$∴y=\dfrac{e}{2} x$ ･･････（答）
と求められる。
（２）
Ｃ：$\begin{cases} x=\log (t^3+t) \\ y=\tan^{-1} t \end{cases}$ より、 $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{3t^2+1}{t(1+t^2)}$ 、$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{1+t^2}$であるから、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{t}{3t^2+1}$ である。故に
点$P\left( \log 2, \dfrac{\pi}{4} \right)$における接線は$t=1$のときに与えられ、方程式は
$y=\dfrac{1}{4} (x-\log 2 )+\dfrac{\pi}{4}$
$∴y=\dfrac{1}{4} x-\dfrac{1}{4} \log 2+\dfrac{\pi}{4}$ ･･････（答）
と求められる。
復習例題未設定