半角余弦数列の問題
東京大学(1975年/2次試験第4問)
数列$\{a_n\}$の項が
$a_1=\sqrt{2}$、$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ $(n=1,2,3,\cdots)$
によって与えられているものとする。このとき
$a_n=\sin {\theta}_n$、$0<{\theta}_n<\dfrac{\pi}{2}$
を満たす${\theta}_n$を見いだせ。また$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\theta}_n$を求めよ。
名古屋市立大学(1991年/Ｂ(医/薬)第3問)
数列$a_1$、$a_2$、$a_3$、$\cdots$ および $b_1$、$b_2$、$b_3$、$\cdots$ を$$a_n=\sqrt{\dfrac{1+a_{n-1}}{2}} \ (n \geqq 1)、b_n=4^n (1-a_n)$$で定める。ただし、$a_0=a \ (|a|<1)$ とする。
（１）$|a_n|<1$ を示せ。
（２）$a_n=\cos {\theta}_n \ (n \geqq 0,0<{\theta}_n<\pi)$ として、${\theta}_n$を${\theta}_0$で表せ。
（３）$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$ を求めよ。
早稲田大学(2004年/(理工)第4問)
初項が$a_1=\sqrt{2}$で、漸化式
$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ $(n=1,2,3,\cdots)$
で定義される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ。
（１）$\log (a_1-1)+\log (a_2-1)+\log (a_3-1)+\log (a_3+1)$の値を求めよ。
（２）すべての正の整数$n$について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$0<2-a_n<\dfrac{1}{2^{n-1}}$$
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \log (a_n-1)$を求めよ。
名古屋大学(2005年/後期(情報文化)選択第3問)
東京医科歯科大学(2008年/第2問)
新潟大学(2009年/(理/工/医/歯)第3問)
北海道大学(2010年/前期理系第3問)
正の実数$r$と $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲の実数$\theta$に対して
$a_0=r \cos \theta$、$b_0=r$
とおく。$a_n$、$b_n$ $(n=1、2、3、\cdots)$ を漸化式
$a_n=\dfrac{a_{n−1}+b_{n−1}}{2}$、$b_n=\sqrt{a_n b_{n−1}}$
により定める。以下の問いに答えよ。
（１）$\dfrac{a_1}{b_1}、\dfrac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ。
（２）$\dfrac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ。
（３）$\theta \ne 0$ のとき$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\dfrac{r \sin \theta}{\theta}$$を示せ。