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問題7.1.3a

次の微分方程式を解け（同次形）。

（１）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{x+2y}{y}}$

（２）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{2x-y}{x}}$

《ポイント》

次の形の方程式を同次形の微分方程式と言います。$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$$このタイプの微分方程式は、$y=xz$ と置けば $z$ に関する変数分離形の方程式として解くことができます。

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《解答例》

$y=xz$ と置くとき、$y^{\prime }=z+x{z}^{\prime }$ となることに注意する。

（１）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{x+2y}{y}}$

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-\frac{x+2y}{y}\\ & =-\frac{x}{y}-2\end{array}$$であるから、これに $y=xz$、$y^{\prime }=z+x{z}^{\prime }$ を代入すると、$$\begin{array}{r}z+x{z}^{\prime }=-\frac{1}{z}-2\\ \therefore x{z}^{\prime }=-\frac{(z+1{)}^2}{z}\end{array}$$となる。これより$$\frac{z}{(1+z{)}^2}dz=-\frac{dx}{x}$$となるので、両辺の積分を実行して、$$\int \frac{z}{(z+1{)}^2}dz=-\int \frac{1}{x}dx+c$$ $$\therefore \int (\frac{1}{z+1}-\frac{1}{(z+1{)}^2})dz=-\int \frac{1}{x}dx+c$$ $$\therefore \log |z+1|+\frac{1}{z+1}=-\log |x|+c$$ $$\therefore \log |x+y|+\frac{x}{x+y}=c\cdots (\text{答})$$を得る。

 

（２）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{2x-y}{x}}$

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-\frac{2x-y}{x}\\ & =2-\frac{y}{x}\end{array}$$であるから、これに $y=xz$、$y^{\prime }=z+x{z}^{\prime }$ を代入すると、$$\begin{array}{r}z+x{z}^{\prime }=2-z\\ \therefore x{z}^{\prime }=-2(z-1)\end{array}$$となる。これより$$\frac{z}{1-z}dz=2\frac{dx}{x}$$となるので、両辺の積分を実行して、$$\int \frac{1}{z-1}dz=-2\int \frac{1}{x}dx+c_1$$ $$\therefore \log |z-1|=-2\log |x|+c_1^{\prime }$$ $$\therefore \log \left|\frac{-x+y}{x}\right|=\log \frac{c_2}{x^2}$$ $$\therefore \frac{-x+y}{x}=\frac{c}{x^2}(c:=e^{c_2})$$ $$\therefore y=x+\frac{c}{x}\cdots (\text{答})$$を得る。

 

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復習例題は設定していません。

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