線形代数2.4.8

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 問題2.4.8

Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならば、任意の m×n 行列B、 n×m 行列Cに対し、次の行列 X、Y、Z は正則であることを示せ。また X−1、Y−1、Z−1を求めよ。

X=[ABOD]、Y=[AOCD]、Z=[BADO]

 

 ポイント

X、Y、Z が逆行列をもつことを証明します。例えば、XX−1=E を満たすような行列X−1が存在すればXが正則であることが言えます。

 

 解答例

Aはm次正則行列、Dはn次正則行列であるから、逆行列A−1、D−1が存在することに注意する。

X=[ABOD] に対して、XX−1=E を満たすような行列X−1が存在するとすれば、X−1はX−1=[A−1KOD−1]と置ける。これより、[ABOD][A−1KOD−1]=[EOOE] ∴[EAK+BD−1OE]=[EOOE]となるので、この恒等式が成り立つにはAK+BD−1=Oであればよい。よってK=−A−1BD−1となるから、X−1=[A−1−A−1BD−1OD−1]と求められる。Xには逆行列が存在するから正則である。

同様にしてY−1=[A−1O−D−1CA−1D−1]を得るからYは正則である。

また、Z=[BADO] の場合はZ−1=[OD−1A−1K]の形で置けるので、計算するとZ−1=[OD−1A−1−A−1BD−1]を得るからZは正則である。

□

 

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