線形代数3.1.2

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 問題3.1.2

次の置換を巡回置換の積に分解せよ。

（１）$\left(\begin{array}{lllllll}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 7& 6& 5& 1& 2& 3\end{array}\right)$

（２）$\left(\begin{array}{llllllll}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 3& 1& 5& 8& 2& 4& 6& 7\end{array}\right)$

 

 ポイント

$$1\to k_1,2\to k_2,\cdots ,n\to k_n$$という写像を置換$\sigma$と呼び、$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ k_1& k_2& \cdots & k_n\end{array}\right)$$のように書きます。ここで下の数字は上の数字の行き先を示しています。

特に $\sigma =\left(\begin{array}{llll}{k}_1& k_2& \cdots & k_r\\ k_2& k_3& \cdots & k_1\end{array}\right)$ は巡回置換と呼ばれ、$$\sigma =\left(\begin{array}{llll}{k}_1& k_2& \cdots & k_r\end{array}\right)$$のように上段を省略して表記されます。

同じ文字を含まない巡回置換は交換可能なので、求めた巡回置換の順番を教科書に合わせる必要はありません。

 

 解答例

（１）

$1\to 4\to 5\to 1$、$2\to 7\to 3\to 6\to 2$ であるから、$$\left(\begin{array}{llll}2& 7& 3& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1& 4& 5\end{array}\right)\cdots (\text{答})$$

（２）

$1\to 3\to 5\to 2\to 1$、$4\to 8\to 7\to 6\to 4$となるから、 であるから、$$\left(\begin{array}{llll}4& 8& 7& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1& 3& 5& 2\end{array}\right)\cdots (\text{答})$$

 

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