問題3.1.1
次の置換の積を計算せよ。
（１）$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$
（２）$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)$
（３）$\begin{array}{lll}(1 & 3)(2 & 3)(2 & 4)\end{array}$
（４）$\begin{array}{lllllll}(1 & 4)(3 & 2)(1 & 2 & 4 & 3)(2 & 3)\end{array}$
ポイント
$$1 \rightarrow k_{1}, 2 \rightarrow k_{2}, \cdots, n \rightarrow k_{n}$$という写像を置換$\sigma$と呼び、$$\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n}
\end{array}\right)$$のように書きます。ここで下の数字は上の数字の行き先を示しています。
特に $\sigma=\left(\begin{array}{llll}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r} \\ k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{1}\end{array}\right)$ は巡回置換と呼ばれ、$$\sigma=\left(\begin{array}{llll}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r}\end{array}\right)$$のように上段を省略して表記されます。
要素の移り変わりを正しく追うことができれば難しくありません。
解答例
（１）
$$\begin{array}{l}
1 \rightarrow 3,\, 3 \rightarrow 2 \\
2 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 3 \\
3 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 1
\end{array}$$となるから、$$\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$
（２）
$$\begin{array}{l}
1 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 1 \\
2 \rightarrow 3,\,3 \rightarrow 2 \\
3 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 4 \\
4 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 3
\end{array}$$となるから、$$\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 4 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
3 & 4
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$
（３）
$$\begin{array}{l}
1 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 3 \\
2 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 4 \\
3 \rightarrow 3,\,3 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 2 \\
4 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 1
\end{array}$$となるから、$$\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}
1 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$
（４）
$$\begin{array}{l}
1 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 3,\,3 \rightarrow 3 \\
2 \rightarrow 3,\,3 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 1,\,1 \rightarrow 4 \\
3 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 1 \\
4 \rightarrow 4,\,4 \rightarrow 3,\,3 \rightarrow 2,\,2 \rightarrow 2
\end{array}$$となるから、$$\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 1 & 2
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$ ※$(1 \ 3)(2 \ 4)$ として積に分解しても可