問題2.1.2
次の連立1次方程式を拡大係数行列の基本変形を用いて解け。
（１）$\left[\begin{array}{rr}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$
ポイント
基本変形を行って連立1次方程式を解く方法を掃き出し法と言います。掃き出し法のやり方については教科書を参照して下さい。
掃き出し法は行列の行基本変形を用いて処理することができます。行列の次の3つの変形を行基本変形と言います。
ア）１つの行を何倍か ($\ne 0$倍) する
イ）２つの行を入れ替える
ウ）１つの行に他の行の何倍かを加える
右側の注釈の記号は教科書に準拠しています。
解答例
（１）
$$\begin{array}{cc:cl}
\hline 3 & 1 & -1 & \\
1 & -1 & 2 & \\
\hline 0 & 4 & -7 & ①+② \times (-3) \\
1 & -1 & 2 & \\
\hline 1 & -1 & 2 & \\
0 & 4 & -7 & \\
\hline 1 & -1 & 2 & \\
0 & 1 & -\dfrac{7}{4} & ② \times \dfrac{1}{4} \\
\hline 1 & 0 & \dfrac{1}{4} & ①+② \\
0 & 1 & -\dfrac{7}{4} & \\
\hline
\end{array}$$よって、$x_{1}=\dfrac{1}{4}$、$x_{2}=-\dfrac{7}{4} \, \cdots (\text{答})$
（２）
$$\begin{array}{cc:cl}
\hline 3 & 5 & 2 \\
1 & 3 & 0 \\
\hline 0 & -4 & 2 & ①+② \times (-3) \\
1 & 3 & 0 \\
\hline 1 & 3 & 0 \\
0 & -4 & 2 \\
\hline 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & ② \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \\
\hline 1 & 0 & \dfrac{3}{2} & ①+② \times (-3) \\
0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$$よって、$x_{1}=\dfrac{3}{2}$、$x_{2}=-\dfrac{1}{2} \, \cdots (\text{答})$
（３）
$$\begin{array}{ccc:cl}
\hline 2 & 1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 2 & 2 \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
\hline 0 & 1 & 5 & 5 & ①+③ \times (-2) \\
0 & -1 & 2 & 2 \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
\hline 0 & 1 & 5 & 5 \\
0 & 0 & 7 & 7 & ②+① \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
\hline 0 & 1 & 5 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 & ② \times \dfrac{1}{7} \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
\hline 1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 5 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & ①+③ \\
0 & 1 & 0 & 0 & ②+③ \times (-5) \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}$$よって、$x_{1}=-1$、$x_{2}=0$、$x_{3}=1 \cdots (\text{答})$
（４）
$$\begin{array}{ccc|cl}
\hline 2 & 3 & 0 & 4 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
3 & 1 & -3 & -2 \\
\hline 0 & 5 & -2 & 2 & ①+② \times (-2)\\
1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 4 & -6 & -5 & ③+② \times (-3)\\
\hline 0 & 1 & -\dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5} & ① \times \dfrac{1}{5}\\
1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{5}{4} & ③ \times \dfrac{1}{4}\\
\hline 0 & 0 & \dfrac{11}{10} & \dfrac{33}{20} & ①-③ \\
1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & ②+③ \\
0 & 1 & -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{5}{4} \\
\hline 0 & 0 & 1 & \dfrac{3}{2} & ① \times \dfrac{10}{11} \\
1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} \\
0 & 1 & -\dfrac{3}{2} & -\dfrac{5}{4} \\
\hline 0 & 0 & 1 & \dfrac{3}{2} \\
1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & ②+① \times \dfrac{1}{2} \\
0 & 1 & 0 & 1 & ③+① \times \dfrac{3}{2} \\
\hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{3}{2} \\
\hline
\end{array}$$よって、$x_{1}=\dfrac{1}{2}$、$x_{2}=2$、$x_{3}=\dfrac{3}{2} \cdots (\text{答})$