問題4.2.1
次のベクトルは1次独立か1次従属か調べよ。
（１）$\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ -3\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$
（５）$\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5\end{array}\right]$
（６）$\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2 \\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$
（７）$f_{1}(x)=1+x+x^{2}$, $f_{2}(x)=2-x+2 x^{2}$, $f_{3}(x)=-1+2 x+x^{2}$
解法の要点
$V$ のベクトル $\boldsymbol{v}$ が $V$ のベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ を用いて$$\boldsymbol{v}=c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n} \quad\left(c_{i} \in \boldsymbol{R}\right)$$と書けるとき、「ベクトル $\boldsymbol{v}$ は $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ の1次結合で書ける」と言います。
ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が$$(*) \quad c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n}=0 \quad\left(c_{i} \in R\right)$$を満たすとき、これをベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ の1次関係と言います。
ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$(*)$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。
解答例
（１）
$\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$
与えられたベクトルの１次関係を$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと$$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$$となるから１次独立である。
（２）
$\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ -3\end{array}\right]$
$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
3 \\
2 \\
1
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
3
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{c}
5 \\
4 \\
-3
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 4 \\
1 & 3 & -3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと自明でない解$$\begin{cases}
x_{1}=-3 x_{3} \\
x_{2}=2 x_{3} \\
x_{3}=x_{3}
\end{cases}$$が存在するから１次従属である。
（３）
$\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right]$
与えられたベクトルの１次関係を$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
2 \\
4 \\
1
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{l}
5 \\
1 \\
1
\end{array}\right]+c_{4}\left[\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
3
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{llll}
2 & 3 & 5 & 2 \\
4 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと自明でない解$$\begin{cases} c_{1}=\dfrac{1}{3} c_{4} \\ c_{2}=-2 c_{4} \\ c_{3}=\dfrac{2}{3} c_{4} \\ c_{4}=c_{4} \end{cases}$$が存在するから１次従属である。
（４）
$\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$
与えられたベクトルの１次関係を$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと$$
c_{1}=c_{2}=c_{3}=0
$$となるから１次独立である。
（５）
$\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5\end{array}\right]$
与えられたベクトルの１次関係を$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
1 \\
4
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
3 \\
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{c}
5 \\
4 \\
1 \\
-5
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 5 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 1 \\
4 & 1 & -5
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと自明でない解$$
\begin{cases}
x_{1}=2 x_{3} \\
x_{2}=-3 x_{3} \\
x_{3}=x_{3}
\end{cases}
$$が存在するから１次従属である。
（６）
$\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2 \\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$
与えられたベクトルの１次関係を$$
c_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2 \\
4
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
3
\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
3 \\
0
\end{array}\right]+c_{4}\left[\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]=\mathbf{0}
$$とすると$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 3 & -1 \\
4 & 3 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$となる。これを解くと$$c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0$$となるから１次独立である。
（７）
$f_{1}(x)=1+x+x^{2}$, $f_{2}(x)=2-x+2 x^{2}$, $f_{3}(x)=-1+2 x+x^{2}$
与えられたベクトルを $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ とすると、与えられたベクトルの１次関係は$$
\begin{aligned}
\mathbf{0} &=c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}+c_{3} f_{3} \\
&=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right] \\
&=\left(1, x, x^{2}\right)\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$となる。$1$、$x$、$x^2$ は１次独立だから定理4.2.4より、$$\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]$$である。これを解いて$$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$$となるから $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ は１次独立である。