線形代数4.2.4

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 問題4.2.4

次の命題の正否を調べ,証明または反例をあげよ。

(1)$\boldsymbol{u}_{1}$ と $\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{2}$ と $\boldsymbol{u}_{3}$、$\boldsymbol{u}_{1}$ と $\boldsymbol{u}_{3}$が1次独立ならば $\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$は1次独立

(2)$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{1}+\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{1}+\boldsymbol{u}_{2}+\boldsymbol{u}_{3}$ が1次独立ならば $\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$は1次独立

(3)$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$の中に零ベクトルがあれば$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は1次従属

 

 ポイント

ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$(*)$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。

 

 解答例

(1)

 ・・・(答)

例えば $u_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$、$\boldsymbol{u}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$、$\boldsymbol{u}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$ は1次従属である。

(2)

 ・・・(答)

$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$が1次従属ならばその中の1つ、例えば$\boldsymbol{u}_{3}$は$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$の1次結合で書ける。(定理4.2.2)

これを$\boldsymbol{v}_{1}$、$\boldsymbol{v}_{2}$、$\boldsymbol{v}_{3}$に代入すると3個のベクトルが2個のベクトルで書けることになり、定理4.2.3より1次従属となる。

(3)

 ・・・(答)

例えば $\boldsymbol{u}_{1}=0$ ならば$$1 \boldsymbol{u}_{1}+0 \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+0 \boldsymbol{u}_{m}=\mathbf{0}$$は自明でない1次関係を与えるから$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は1次従属となる。

 


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