線形代数4.2.5

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 問題4.2.5

$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$が1次独立ならば、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$ $(1 \leqq r \leqq m-1)$ も1次独立であることを示せ。

 

 ポイント

ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$(*)$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。

問題文の書き方から数学的帰納法も思い付きますが、ここでは背理法で示します。

 

 解答例

背理法で示す。

$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$が1次従属ならば、その中の1つ、例えば$\boldsymbol{u}_{1}$は$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$の1次結合で$$\boldsymbol{u}_{1}=c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{r} \boldsymbol{u}_{r}$$と書ける。よって$$\boldsymbol{u}_{1}=c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{r} \boldsymbol{u}_{r}+0 \boldsymbol{u}_{r+1}+\cdots+0 \boldsymbol{u}_{m}$$と$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$の1次結合で書けるので$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は1次従属となり矛盾する。

よって示された。

 


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