階差数列の定義・扱い方

数列に関する備忘録

階差数列の定義・扱い方

 


階差数列」とは、「隣接する項が差となる数列」を意味しています。ある数列anの隣り合う項の差を取ることで現れる数列bn階差数列と言います。

式で表現すると、bn=an+1anとなります。

例えば、

124711

という数列は「初項が1で、階差数列がnの数列」です。階差数列は項番号を間違いやすいので、もし出題されたらケアレスミスに注意しましょう。


「初項がa1で、階差数列がbnの数列an」の一般項は以下のように導出することができます。a2a1 =b1a3a2=b2a4a3=b3an1an2 =bn2+)anan1 =bn1ana1=b1+b2++bn1 an=a1+k=1n1bk

このような和の取り方を「畳み込み」と言います。また、このようなタイプの計算や和のことを「和の中抜け」もしくは「望遠鏡和」などと呼びます。英語圏では “telescoping summation” という名前がちゃんと付いています。

この操作がちゃんと頭に入っていれば階差数列の苦手意識も薄れるのではないでしょうか。


(練習問題)

a1=1an+1=an+2n2n (n=1, 2, 3,) で定義される数列の一般項 an を求めよ。


 

(解答例)

与漸化式より、an+1an=2n2nとなるので、数列 an の階差数列の第n項が 2n2n であるから n2 のとき、an=a1+k=1n1(2k2k)=1+k=1n12k2k=1n1k=1+2(2n11)21212n(n1)=1+(2n2)n2+n=2nn2+n1

初項は a1=1 なので、これは n=1 のときにも成り立ちます。

したがってan=2nn2+n1が求める一般項です。

 


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