雑題ログ:その他の問題

その他の問題

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【ベータ関数に関する問題】

横浜市立大学(2015年/理系第1問)


 


【相反方程式に関する問題】

札幌農学校予科(1905年/(土木/林学)第4問)

$6x^4+5x^3−38x^2+5x+6=0$ を解け。


九州歯科大学(2013年/第3問)


奈良県立医科大学(2017年/推薦第3問)


横浜市立大(2018年/理系大問Ⅱ)


大阪大学(2018年/前期理系第2問)


 


【レイリーの定理に関する問題】

慶應義塾大学(1992年/(理工)第5問)


京都府立大学(2016年/理系第1問)


九州大学オープン模試(2017年/理系第4問(河合塾))

(著作権の関係で全文の掲載は控えさせて頂きます)


 


【コーシー・シュワルツの不等式に関する問題】

奈良県立医科大学(2014年/後期第2問)


信州大学(2015年/理系第4問) ※確率分野からの出題


 


【放物線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ に関する問題】

神戸大学(1969年/理系第7問)


東北大学(1990年/前期共通第1問)


琉球大学(2008年/前期理系第2問)


 

 


【カージオイド(心臓形)に関する問題】

お茶の水女子大学(1992年/(物理)前期第5問)


お茶の水女子大学(1996年/(数)前期第7問/(物理)前期第5問)


 


【アステロイド(星芒形)に関する問題】

九州大学(1990年/後期(工)第4問)


お茶の水女子大学(1999年/(数)前期第7問)


 


【等角螺旋に関する問題】

神戸大学(2000年/後期理系第4問)


 


【シグモイド関数に関する問題】

金沢大学(2004年/前期理系第4問)


山梨大学(2015年/前期理系(生命環境/工)第1問(3))

関数 $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ の増減、グラフの凹凸、変曲点を調べて、そのグラフをかけ。


横浜市立大学(2017年/前期理系第1問(3))

関数$f(x)$を$$y=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$$とする。このとき、導関数$f^{\prime}(x)$の最大値を求めよ。


山梨大学(2017年/前期理系(生命環境/工)第4問)


 


【曲率・曲率半径に関する問題】

横浜国立大学(1987年/前期(工)第5問)


室蘭工業大学(1989年/第4問)

曲線 $y=\cos \pi x$ 上に定点$\mathrm{A}(0,1)$と動点$\mathrm{P}(x,y)$(ただし、$0<|x|<1$)をとる。この2点を通り$y$軸上に中心をもつ円を$C$とする。点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$に限りなく近づけると、円$C$の半径はどんな値に近づくか。


防衛医科大学(1995年/第4問)


埼玉大学(2008年/(理(数学))第4問) ※$y=\log x$ に関する問題


 


【正多面体に関する問題】

名古屋市立大学(1969年/第1問小問(1))

辺の長さが$a$の正八面体(合同な$8$つの正$3$角形で囲まれている立体)について、次の問いに答えよ。

(a)相対する頂点の間の距離を求めよ。

(b)相対する平行な面の間の距離を求めよ。


名古屋市立大学(1975年/第1問小問(1))

(1)1辺の長さが1の立方体がある。この立方体の$8$つのかどから合同な正三角錐を切り捨て、立方体のもとの面が正多角形になるようにする。このようにして得られる立体の体積を求めよ。


東京大学(1990年/理科第3問) ※正八面体


お茶の水女子大学(1991年/前期理系第3問)

半径$1$の球に内接する正四面体の$1$辺の長さを求めよ。


北海道大学(2005年/前期文系第4問/前期理系第5問)

半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ。


東京大学(2008年/理科第3問) ※正八面体


東京医科歯科大学(2010年/第2問) ※立方体と正八面体


名古屋市立大学(2012年/(医)第4問)

一辺の長さが$a$の正八面体の体積と、その正八面体に内接する球、外接する球の半径を求めよ。


奈良教育大学(2015年/(教育)第1問)

一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$で表せ。


芝浦工業大学(2016年/第3問) ※正二十面体


順天堂大学(2016年/(医)第2問) ※正二十面体


大阪大学(2018年/文系第3問/理系第4問) ※正八面体


東京大学(2019年/理科第3問) ※正八面体


 

【空間幾何に関するその他の問題】

京都大学(1999年/後期理系第4問) ※合同四面体

$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが$\triangle \mathrm{ABC}$と合同な四面体が存在することを示せ。


大阪医科大学(2015年/後期第2問) ※合同四面体

四面体$\mathrm{OABC}$は、各面が互いに合同な三角形である。$\triangle \mathrm{ABC}$の辺の長さを $\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$ として、$a$、$b$、$c$は互いに異なるとする。辺$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{A_1}$、$\mathrm{B_1}$、$\mathrm{C_1}$、辺$\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$、$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}$、$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$とする。

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の2辺$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$の長さをそれぞれ$a$、$b$、$c$で表せ。

(2)3 本の直線$\mathrm{LA_1}$,$\mathrm{MB_1}$,$\mathrm{NC_1}$は一点で交わることを示せ。

(3) 3 本の直線$\mathrm{LA_1}$,$\mathrm{MB_1}$,$\mathrm{NC_1}$は互いに直交することを示せ。


京都大学(2019年/特色入試第4問) ※四面体

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の面および内部から一直線上にない3点 $\mathrm{P、Q、R}$ を選ぶ。このとき、三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積は四面体 $\mathrm{ABCD}$ の4つの面の面積のうち最大のものを超えないことを示せ。


 

【バーゼル問題に関する問題】

京都府立医科大学(1975年/第4問)


愛知県立大学(2009年/情報科学部第4問)

以下の問いに答えよ。

(1)$0<a<b$ であるとき、$$\dfrac{b-a}{b^2}<\int_{a}^{b} \dfrac{1}{x^2}dx$$が成り立つことを示せ。

(2)$n$を$2$以上の自然数としたとき、$$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<1-\dfrac{1}{n}$$が成り立つことを示せ。


 

【不等式$(a+b)^n \leqq 2^{n-1}(a^n+b^n)$に関する問題】

東京都立大学(1997年/(人文/経済)前期第1問)

$a$、$b$は正の実数とする。

(1)不等式$$(a+b)^2 \leqq 2(a^2+b^2)$$を証明せよ。

(2)$2$以上のすべての自然数$n$に対して、不等式$$(a+b)^n \leqq 2^{n-1}(a^n+b^n)$$を数学的帰納法を使って証明せよ。


お茶の水女子大学(1997年/(数)前期第6問)

どんな正の数$x$、$y$に対しても不等式$$(x+y)^4 \leqq c^3(a^4+b^4)$$が成り立つような$c$の範囲を求めよ。


東京工業大学(1999年/前期第1問)

正の実数$a$、$b$、$p$に対して、

$A=(x+y)^p$ と $B=2^{n-1}(a^n+b^n)$

の大小関係を調べよ。


埼玉大学(2004年/(工)前期第3問)

任意の正数$x$に対して次の不等式が成り立つような正の定数$a$の範囲を求めよ。$$2^{a-1}(x^a+2^a) \geqq (x+2)^a$$


 

 

【定数の評価に関する問題】

お茶の水女子大学(1995年/(数)前期第7問)

$\dfrac{100}{120}< \sin 1 <\dfrac{101}{120}$ を示せ。ただし、$\sin 1$ の $1$ はラジアンの意味である。


山梨大学(1999年/(工)前期第1問)

$f(x)=\log(1+x)-(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4})$

$g(x)=\log(1+x)-(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5})$

について次の問に答えよ。

(1)導関数$f'(x)$、$g'(x)$を各々求め、簡単な式で表せ。

(2)$x>-1$ で $\log(1+x) \leqq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}$ となることを示せ。

(3)$\dfrac{1}{2}<\log 2<\dfrac{4}{5}$ であることを示せ。


三重大学(2001年/(教育)前期第1問)

(1)$2^{10}=1024>1000$ を利用して $\log_{10}2 >0.3$ を示せ。

(2)$M、N$を正の実数とするとき、不等式$$\log_{10}(M+N) \geqq \dfrac{1}{2}(\log_{10}M+\log_{10}N)+\log_{10}2$$が成り立つことを示せ。

(3)(1)、(2)を利用して $\log_{10}13>1.1$ を示せ。


東京大学(2003年/前期理系第6問)

円周率が$3.05$より大きいことを証明せよ。


大阪医科大学(2009年/前期第3問)

(1)$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、つぎの不等式が成り立つことを示せ。$$2(1+x^2) \leqq \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}= \dfrac{2}{1-x^2} \leqq 2(1+x^2)+\dfrac{x^2}{4}$$

(2)不等式 $\dfrac{56}{81} \leqq \log 2 \leqq \dfrac{56}{81}+\dfrac{1}{324}$ を示せ。


大阪医科大学(2010年/前期第2問)

自然数$n$に対して次のようにおく。$$a_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\log n 、$$ $$b_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\log (n+1)$$

(1)$n \geqq 2$ のとき、$a_n<a_{n-1}$、$b_n>b_{n-1}$ を示せ。

不等式 $1.09<\log 3 <1.1$ を用いて、(2)、(3)に答えよ。

(2)$n \geqq 2$ のとき、$b_n>0.4$ を示せ。

(3)$n \geqq 3$ のとき、$0.4<a_n<0.75$ を示せ。

(※管理人注:$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ は「オイラー定数」$\gamma = 0.5772156…$ に収束する)


新潟大学(2012年/理系前期第2問)


信州大学(2014年/後期(医)第5問/(理)第2問)

$e$を自然対数の底とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)自然数$n$に対し、$$0 \leqq \displaystyle \int^{1}_{0} t^{n}e^{1-t}dt<e-1$$を示せ。

(2)正の数$a$と自然数$n$に対し、$$e^a=1+ \displaystyle \sum^{n}_{k=1} \dfrac{a^k}{k!} + \dfrac{1}{n!} \displaystyle \int^{a}_{0} t^{n}e^{a-t}dt$$が成り立つことを示せ。

(3)(1)と(2)を用いて $2.4<e<3$ を証明せよ。


 

【その他の諸定理・公式に関する問題】

名古屋市立大学(1967年/前期第1問(1))

正弦定理を述べて、これを証明せよ。


名古屋市立大学(1968年/(医/薬)第1問)

等式 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$ を証明せよ。


東京大学(1999年/前期共通第1問)

※三角比の定義・加法定理の証明


三重大学(2003年/(教育)前期第3問)

絶対値が$1$で偏角が$\theta$の複素数を$z$とし、$n$を正の整数とする。

(1)$z^n$を$\theta$で表す式を、三角関数の加法定理を用いて、帰納法で証明せよ。

(2)$|1-z^2|$を$\theta$の関数で表せ。

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin 2k \theta$ を計算せよ。


順天堂大学(2007年/(医)第3問)

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。

(1)関数$f(x)$が $x = a$ で微分可能とはどういうことか、説明せよ。

(2)「関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で微分可能である」と「関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。

(3)ある区間 $a<x<b$ で微分可能な関数$f(x)$、$g(x)$について導関数の定義から関数の積$f(x)g(x)$の導関数を求めよ。


佐賀大学(2008年/前期文系第1問(1))

※正弦定理の証明


順天堂大学(2008年/(医)第3問)

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。

(1)円周角と中心角の定義を書き、その関係を述べよ。

(2)円周角が直角である場合、上の関係を図を用いて説明せよ。

(3)正弦定理を述べ、それを証明せよ。


順天堂大学(2009年/(医)第3問)

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。

(1)関数 $y = f(x)$ の値域の定義を述べよ。

(2)関数 $y = f(x)$ があるとき、逆関数が存在する条件と逆関数の定義を述べよ。

(3)対数関数を指数関数により定義せよ。

(4)対数関数の底の変換公式を書きなさい。さらに、指数法則より底の変換公式を示しなさい。


三重大学(2009年/理系前期第2問)

工学部(1)$0$以上の2数$\alpha$、$\beta$について、相加平均$\dfrac{\alpha+\beta}{2}$が相乗平均$\sqrt{\alpha \beta}$以上であることを証明せよ。

医学部(2)$0$以上の数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$について、相加平均$\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}$が相乗平均$\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma}$以上になることを示せ。


順天堂大学(2010年/(医)第3問)

※有理数・無理数に関する問題


順天堂大学(2011年/(医)第3問)

※剰余の定理に関する問題


順天堂大学(2012年/(医)第3問)

※共役複素数と多項式の解に関する問題


大阪大学(2013年/文系前期第1問)

$xy$平面において、点$(x_0,y_0)$と直線 $ax+by+c=0$ の距離は$$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$である。これを証明せよ。


大阪大学(2013年/理系前期第1問)

※$\sin x$ の導関数を定義から導出させる問題


奈良教育大学(2013年/(教育)第5問)

三角形の$3$辺の垂直二等分線は$1$点で交わることを証明せよ 。


順天堂大学(2014年/(医)第3問)

※三角形の内心に関する問題(ベクトル)


上智大学(2015年/(理工/経済)第1問)

※対数の定義に関する問題


高知大学(2016年/AO(医)総合問題Ⅰ/大問Ⅱ)

※ヘロンの公式に関する問題


順天堂大学(2016年/(医)第3問)

※三角不等式に関する問題


順天堂大学(2017年/(医)第3問)

※イェンゼンの不等式に関する問題(凸関数)


奈良教育大学(2018年/(教育)第4問)

底面の半径が$r$、高さが$h$である円錐の体積$V$は$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$となることを、積分を用いて証明せよ。


順天堂大学(2018年/(医)第3問)

※三角形の重心と外心が一致するための必要十分条件


 

 


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