雑題ログ:二項係数の問題

二項係数の問題

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奈良女子大学(1998年/後期(数/情報科学)第1問)

(1)素数$p$と $1 \leqq r \leqq p-1$ なる整数$r$に対して、二項係数についての等式$${r \ }_{p}\mathrm{C}_{r}={p \ }_{p-1}\mathrm{C}_{r-1}$$を証明し、${}_{p}\mathrm{C}_{r}$は$p$の倍数であることを示せ。

(2)素数$p$に対して$2^p$を$p$で割った余りを求めよ。


東京大学(1999年/前期理系第5問)


神戸大学(2008年/理系第5問)


東京大学(2009年/前期文科第2問/前期理科第1問)


大阪医科大学(2009年/前期第4問)

(1)$p$を素数、$k$を $1 \leqq k \leqq p-1$ である自然数とするとき、二項係数${}_{p}\mathrm{C}_{k}$は$p$で割り切れることを証明せよ。

(2)$p$は素数で、$p>2$ とする。自然数$m$、$n$に対して、$A=(m+n)^p-m^p-n^p$ あ$2p$で割り切れることを証明せよ。


奈良県立医科大学(2012年/前期第4問)


熊本大学(2013年/(人文)第1問)


奈良県立医科大学(2013年/後期第4問)


東京大学(2015年/前期理科第5問)

$m$を$2015$以下の正の整数とする。${}_{2015}\mathrm{C}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ。

 


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