雑題ログ:回転体の求積問題

回転体の求積問題

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ここでは座標計算をあまり要さない「ナチュラルな回転体」の問題を蒐集するよう心掛けています。ただし面白い関数の回転体に関するユニークな出題であれば、その限りではありません。

関数の回転体


・サイクロイドの回転体に関する問題

北九州市立大学(2017年/(国際環境工)第3問)

その他の関数の回転体


東京大学(1989年/第5問)

※$\pi x^2 \sin \pi x$の回転体。誘導として「バウムクーヘン分割」による積分公式の導出が課されています。

(類題:気象大学校(1980)、筑波大学(1993)など)


東京都立大学(1996年/(人文/経済)第3問)

$n$を自然数とし、二つの曲線 $y=x^n$、$y^2=x$ によって囲まれる図形を$F$とする。

(1)$F$の面積を求めよ。

(2)$F$を$x$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$V$を求めよ。

(3)$F$を$y$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$V$を求めよ。


東京工業大学(2015年/第3問)

※$e^{-x^2}$の回転体。(大学教養レベルの数学では重積分の範囲で登場します)

正四面体の回転体


東大実戦(2013年/第2回理系(駿台))

※首都大学東京(2014年/後期)と同じ題意の問題。ただし回転させるのは正四面体の「表面」です。(著作権の関係で問題文の掲載は控えさせて頂きます)


首都大学東京(2014年/後期(都市教養,都市環境,システムデザイン)第4問)

一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体$OABC$の辺$OA$、$BC$の中点をそれぞれ$M$、$N$とし、$0<t<1$ に対して線分$MN$を$t:1−t$に内分する点を$P$とする。以下の問いに答えなさい。

(1)$MN$の長さを求めなさい。

(2)辺$OC$上の$1$点$Q$は$MN$と$PQ$が直交するように定められているとする。$OQ$の長さを求めなさい。

(3)$MN$を軸として正四面体$OABC$を$1$回転させてできる回転体の体積を求めなさい。


正八面体の回転体


東京大学(1990年/理科第3問)

(求積問題ではないですが正八面体の断面図を必要とする珍しい出題なのでここに掲載しておきます)


東京大学(2008年/理科第3問)

 

その他の図形の回転体や軸対称領域


東京大学(2002年/理科第3問)

$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とし、点$A(0,0,−1)$を通る球面を$S$とする。$S$の外側にある点$P(x,y,z)$に対し、$OP$を直径とする球面と$S$との交わりとして得られる円を含む平面を$L$とする。点$P$と点$A$から平面$L$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$Q、R$とする。このとき、$PQ \leqq AR$であるような点$P$の動く範囲$V$を求め、$V$の体積は$10$より小さいことを示せ。


東京大学(2016年/理科第6問)

 

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