問題#B001 ★☆☆☆
$1$以上$100$以下の自然数で、$3$で割ったときの余りが$1$であるものは何個存在するか。また、$1$以上$100$以下の自然数で、$3$で割ったときの余りが$1$であり、$4$で割ったときの余りが$3$であるものは何個存在するか。
《ポイント》
剰余類の第１問目です。$3$で割ったときの余りが$1$となる整数はご存知の通り $3n+1$ と表すことができます。条件が２つ以上重なってくると厄介ですが、順序立てて考えればただ一通りの表記しか無いことが分かります。
《解答例》
$3$で割ったときの余りが$1$となる整数は整数$n$を用いて$3n+1$と表すことができる。$1 \leqq 3n+1 \leqq 100$ より、$0 \leqq n \leqq 33$ となる。故に求める個数は$34$個。
また、$3$で割ったときの余りが$1$であり、$4$で割ったときの余りが$3$であるものは整数$k$を用いて$12k+7$と表すことができる。$1 \leqq 12k+7 \leqq 100$ より、$0 \leqq k \leqq 7$ となる。故に求める個数は$8$個。
（答）それぞれ$34$個、$8$個
《コメント》
剰余類の基本例題です。小(中?)学校までなら数え上げでも十分ですが、高校数学であれば式を使ってスマートに解きたいものです。