問題#B004 ★★☆☆
$m$と$n$は正の整数とする。$n$を$m$を割ると$7$余り、$n+13$は$m$で割り切れるとき、$m$の値をすべて求めよ。
《ポイント》
前問同様、まずは各条件を式に直します。余りの情報から$m$の大きさが絞られることにも注意しましょう。
《解答例》
条件より、$k$、$l$を正の整数として、$$\begin{cases} n=mk+7 \\ n+13=ml\end{cases} $$が成立する。2式より$n$を消去して$$(mk+7)+13=ml$$ $$\therefore m(l-k)=20$$と整理できる。$n$を$m$を割ったときの余りが$7$であるから$m>7$が必要であり、$m=10、20$を得る。
$m=10$のとき$n=10k+7$、$m=20$のとき$n=20k+7$となり、題意を満たす正の整数$m$と$n$が存在している。よって求める$m$の値は$m=10、20$である。
（答）$m=10、20$
《コメント》
整数問題では躊躇うことなく文字で置きまくるのが良いというのが私の持論です。倍数や剰余の関係などはなるべくシンプルになるように式化しましょう。（今回は必要というわけではないですが）得られた解の吟味もお忘れなく。