問題#B005

問題#B005 ★★☆☆

整数の2乗となる数を平方数という。

(1)平方数を3で割った余りは01に限られることを示せ。

(2)平方数を4で割った余りは01に限られることを示せ。

(3)平方数を5で割った余りは014に限られることを示せ。


《ポイント》

例えば13を法としたときの「平方剰余」であり、23を法としたときの「平方剰余」ではありません。証明では3m±1などと置くか、合同式で片付けてしまいましょう。合同式については整数第2章第3節を参照してください。


《解答例》

以下、mは整数とする。

(1)

すべての整数は3m3m±1のいずれかの形で表される。

3mと表されるとき、(3m)2=9m2であり、3で割った余りは0である。

3m±1と表されるとき、(3m±1)2=9m2±6m+1であり、3で割った余りは1である。

よって平方数を3で割った余りは01に限られる。

(2)

すべての整数は4m4m±14m+2のいずれかの形で表される。

4mと表されるとき、(4m)2=16m2であり、4で割った余りは0である。

4m±1と表されるとき、(4m±1)2=16m2±8m+1であり、4で割った余りは1である。

4m+2と表されるとき、(4m+2)2=16m2+16m+4であり、4で割った余りは0である。

よって平方数を4で割った余りは01に限られる。

(3)

すべての整数は5m5m±15m±2のいずれかの形で表される。

5mと表されるとき、(5m)2=25m2であり、5で割った余りは0である。

5m±1と表されるとき、(5m±1)2=25m2±10m+1であり、5で割った余りは1である。

5m±2と表されるとき、(5m±2)2=25m2±20m+4であり、5で割った余りは4である。

よって平方数を5で割った余りは014に限られる。

 


《コメント》

このように平方数の余りが限られるという事実は論証やディオファントス方程式を解く際に非常に重宝します。他にも様々な数で平方剰余を求めることができますが、問題を解く上で実用性があるのは大抵34を法としたときで、5を法として絞ることは滅多にありません。

今回は平方数で余りを考えましたが、その他の冪でも余りの数は限定されます。興味のある人は書き出してみると良い勉強になると思います。


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