問題#B010 ★★☆☆
(1)
(2)
《ポイント》
こちらも#B009と同様、合同式の威力を味わえる問題です。(合同式についての詳しい内容は「整数第2章第3節」を参照してください)
また、因数分解をしても簡単に示すことができます。その際は
なお、本問は数学的帰納法によっても証明することができます。
《解答例》
(1)
故に
□
《(1)別解1 》
故に
□
《(1)別解2 》
以上より、数学的帰納法から
□
(2)
となるから
となるから
よって
□
※(2)でも別解が考えられますが、(1)とほぼ同様の方針なので割愛します。
《コメント》
数学的帰納法は汎用性が高いですが記述量が多くなってしまうという欠点もあります。因数分解もポピュラーな解法ですが、合同式を使えば本問のような問題は文字通り瞬殺です。ご覧の通り、合同式を使った解答の記述量は余りにも少ないため、採点者の心証を損ねるといって毛嫌いする人達や入試で使ってはならないと頑なに信じる人達がいますが、個人的にはこんなに便利な道具を知っているのに使わない手は無いと思います。ただ、使う際には一言で良いので簡単に定義を述べるなどした方が良いかもしれませんね。