問題#B014 ★★☆☆
数列$\{ a_n \}$を$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$a_{2017}$の下一桁の数を求めよ。
《ポイント》
前問で扱った通り、数列の余りは周期性を持ちますので、数項だけ計算してみてアタリを付けましょう。数列をよく見ると$4^n$と$n^4$の和になっていますから、別々に考えると良さそうです。$2017$という数は大きめですが、周期性を利用すれば恐るるに足らず。
《解答例》
$4^n$の下一桁の数は周期$2$で$4$、$6$、$\cdots$を繰り返すから$4^{2017}$の下一桁の数は$4$である。
また、$n^4$の下一桁の数は周期$10$で$1$、$6$、$1$、$6$、$5$、$6$、$1$、$6$、$1$、$0$、$\cdots$をを繰り返すから$2017^4$の下一桁の数は$1$である。
故に$a_{2017}$の下一桁の数は $5$ である。
（答）$5$
《コメント》
周期性を利用すればあっけなく解決できます。$a_{2017^{2017}}$の下一桁の数とかも求められますね(笑)！（一応、答えは$5$です･･･）