問題#B016 ★★☆☆
$p^2+2$ が素数となるような素数$p$をすべて求めよ。
《ポイント》
こういう掴みどころの無さそうに見える問題であれば特に実験が重要です。$p$に色々な素数を代入してみると$p=3$以外の素数では $p^2+2$ が$3$の倍数になることが予想できます。ここで$3$を法とした剰余類を考えることに思い至れば思考プロセスとしては文句の付けようがありません。
《解答例》
$p=2$は不適であり、$p=3$ は題意を満たす。以下 $p > 3$ として $p=3m \pm 1 \ (m \in \mathbb{N} \geqq 2)$ と置くと、
$\begin{align} p^2+2 &=(3m \pm 1)^2+2 \\ &=3(m^2 \pm 2m +1) \end{align}$
となる。$m \geqq 2$ より $m^2 \pm 2m +1$ は$2$以上の整数となるから $p^2+2$ は素数にならない。よって求める素数$p$は$$p=3$$である。
（答）$p=3$
《コメント》
実はこの問題はC問題に回そうと思っていたのですが、解き方がほとんど限られているので剰余類の枠で扱うことにしました。本問は2006年の京大前期理系第4問なのですが、京大の整数問題の中でも易しい問題です。京大では何年かに一回は $\text{mod} \ 3$ で考えるとよい問題が出題されます。最近で言えば2016年の問題がそれにあたります。