問題#B017 ★★☆☆
$p^q+q^p$ が素数となるような素数の組$(p,q)$をすべて求めよ。
《ポイント》
素数というのは「自身と$1$以外に約数を持たない自然数」などと定義されますが、ほとんどの素数は奇数です。$2$を除けば残りの素数はすべて$2$と互いに素なのですから当然と言えば当然ですが、案外「$2$以外の素数は奇数」という条件が効いてくる問題も少なくありません。本問はその良い例ではないでしょうか。
$p^q+q^p$ は明らかに$2$より大きいので、これが素数であるためにはまず奇数であることが必要です。この条件がから片方の素数を決定することができます。そこからが勝負どころです。
《解答例》
$p^q+q^p$ は$2$より大きいから、素数であるためには奇数であることが必要である。故に $p、q$ のいずれか一方は奇数で、もう一方は偶数、即ち$2$でなければならない。
$p^q+q^p$ は $p、q$ に関して対称であるから一般性を失うことなく $p=2<q$ と置ける。よって $2^q+q^2$ が素数となるような素数 $q$ を求めればよい。
$q=3$ は題意を満たす。以下 $q > 3$ として $p=3m \pm 1 \ (m \in \mathbb{N} \geqq 2)$ と置くと、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ 2^q+q^2 \\ &\equiv (-1)^q+(\pm 1)^2 \\ &\equiv 0 \pmod{3} \end{align}$
となる（$q$ は奇数であるから $(-1)^q=-1$）。よって $q > 3$ のとき $2^q+q^2$ は$3$の倍数となるため素数にならない。よって求める素数の組 $(p,q)$ は$$(p,q)=(2,3)、(3,2)$$である。
（答）$(p,q)=(2,3)、(3,2)$
《コメント》
この問題も半ばC問題です。本問は2016年の京大前期理系第4問であり、#B016の10年後に出題された問題です。前問同様、$q$ に色々と代入してみて $q \ne 3$ のときは$3$の倍数になると見当を付けておくことが肝心です。翌年2017年の整数問題も素数絡みの問題でしたが、絞り込みはそれほど難しくありませんでした。$\text{mod} \ 3$ で考える素数問題が京大で出題されるのはまた10年後かもしれませんが、受験を考えている方はしっかり対策しておいて損は無いでしょう。