問題#B017 ★★☆☆
が素数となるような素数の組をすべて求めよ。
《ポイント》
素数というのは「自身と以外に約数を持たない自然数」などと定義されますが、ほとんどの素数は奇数です。を除けば残りの素数はすべてと互いに素なのですから当然と言えば当然ですが、案外「以外の素数は奇数」という条件が効いてくる問題も少なくありません。本問はその良い例ではないでしょうか。
は明らかにより大きいので、これが素数であるためにはまず奇数であることが必要です。この条件がから片方の素数を決定することができます。そこからが勝負どころです。
《解答例》
はより大きいから、素数であるためには奇数であることが必要である。故に のいずれか一方は奇数で、もう一方は偶数、即ちでなければならない。
は に関して対称であるから一般性を失うことなく と置ける。よって が素数となるような素数 を求めればよい。
は題意を満たす。以下 として と置くと、
となる( は奇数であるから )。よって のとき はの倍数となるため素数にならない。よって求める素数の組 はである。
(答)
《コメント》
この問題も半ばC問題です。本問は2016年の京大前期理系第4問であり、#B016の10年後に出題された問題です。前問同様、 に色々と代入してみて のときはの倍数になると見当を付けておくことが肝心です。翌年2017年の整数問題も素数絡みの問題でしたが、絞り込みはそれほど難しくありませんでした。 で考える素数問題が京大で出題されるのはまた10年後かもしれませんが、受験を考えている方はしっかり対策しておいて損は無いでしょう。
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