問題#C001 ★☆☆☆
次の不定方程式のすべての整数解を求めよ。
（１）$3x+5y=0$
（２）$3x+5y=1$
（３）$3x+5y=2$
《ポイント》
不定方程式の基本はまず１次不定方程式です。整数の離散性と因数性に着目することがあらゆる不定方程式を解く上での基本方針となります。１次不定方程式をマスターすることは整数問題の基本をマスターすることと同義です。整数分野における典型題ですので、試験本番で他の受験者に差を付けられない and 差を付けるためにもしっかり押さえておきましょう。
《解答例》
（１）
与式より、$$3x=-5y$$を得る。$3$と$5$は互いに素であるから、$x$は$5$の倍数、$y$は$3$の倍数である。故にある整数$m$、$n$を用いて$$x=5m、y=3n$$と置くことができて、与式に代入すると$$15m=-15n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、求めるすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m \\ y=-3m \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$となる。
（２）
$(x,y)=(2,-1)$は与式を満たすので、$$3 \cdot 2+5 \cdot (-1)=1 \tag{1}$$となる。与式から$(1)$の辺々を引くと、$$3(x-2)+5(y+1)=0$$ $$\therefore 3(x-2)=-5(y+1)$$を得る。$3$と$5$は互いに素であるから、$x-2$は$5$の倍数、$y+1$は$3$の倍数である。故にある整数$m$、$n$を用いて$$x-2=5m、y+1=3n$$と置くことができて、与式に代入すると$$15m=-15n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、求めるすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m+2 \\ y=-3m-1 \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$となる。
《（２）別解 》
$(x,y)=(-3,2)$は与式を満たすので、$$3 \cdot (-3)+5 \cdot 2=1 \tag{2}$$となる。与式から$(2)$の辺々を引くと、$$3(x+3)+5(y-2)=0$$ $$\therefore 3(x+3)=-5(y-2)$$を得る。$3$と$5$は互いに素であるから、$x+3$は$5$の倍数、$y-2$は$3$の倍数である。故にある整数$m$、$n$を用いて$$x+3=5m、y-2=3n$$と置くことができて、与式に代入すると$$15m=-15n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、求めるすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m-3 \\ y=-3m+2 \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$となる。
（※）
$\begin{cases} x=5m+2 \\ y=-3m-1 \end{cases} (m \in \mathbb{Z})$と$\begin{cases} x=5m-3 \\ y=-3m+2 \end{cases} (m \in \mathbb{Z})$では答えが違うように見えますが$m$はあらゆる整数値を取るので同じ答えです。
（３）
$(x,y)=(4,-2)$は与式を満たすので、$$3 \cdot 4+5 \cdot (-2)=2 \tag{3}$$となる。与式から$(3)$の辺々を引くと、$$3(x-4)+5(y+2)=0$$ $$\therefore 3(x-4)=-5(y+2)$$を得る。$3$と$5$は互いに素であるから、$x-4$は$5$の倍数、$y+2$は$3$の倍数である。故にある整数$m$、$n$を用いて$$x-4=5m、y+2=3n$$と置くことができて、与式に代入すると$$15m=-15n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、求めるすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m+4 \\ y=-3m-2 \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$となる。
《（３）別解 》
$(x,y)=(-1,1)$は与式を満たすので、$$3 \cdot (-1)+5 \cdot 1=2 \tag{4}$$となる。与式から$(4)$の辺々を引くと、$$3(x+1)+5(y-1)=0$$ $$\therefore 3(x+1)=-5(y-1)$$を得る。$3$と$5$は互いに素であるから、$x+1$は$5$の倍数、$y-1$は$3$の倍数である。故にある整数$m$、$n$を用いて$$x+1=5m、y-1=3n$$と置くことができて、与式に代入すると$$15m=-15n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、求めるすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m-1 \\ y=-3m+1 \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$となる。
（※）
$\begin{cases} x=5m+4 \\ y=-3m-2 \end{cases} (m \in \mathbb{Z})$と$\begin{cases} x=5m-1 \\ y=-3m+1 \end{cases} (m \in \mathbb{Z})$では答えが違うように見えますが$m$はあらゆる整数値を取るので同じ答えです。
《コメント》
１次不定方程式の基本例題です。こういう問題で「すべての整数解を求めよ。」と言われたら「 $3m+1$（$m$は整数）」みたいな形の答えを要求されることになるので、こうした表記には慣れておきましょう。ありとあらゆる１次不定方程式の問題は（１）の形に持っていくことが基本です。というかそれ以外の解法がありません。値が変わったり $x、y$ の範囲に制限が付いたりしても対応できるようにしましょう。