問題#C005

問題#C005　★★☆☆

整数 x、y が等式 2x+3y=42 を満たすとき、積 xy の最大値と、そのときの組(x,y)をすべて求めよ。

《ポイント》

前問に続き、１次不定方程式をちょっと捻った問題です。本問で求めるものは解の積の最大値です。１次不定方程式の解 x、y がある整数mの１次式で表されることは皆さん経験上分かっていると思いますから、積 xy はmの２次式で表されると予想がつきますね。

《解答例》

2x+3y=42 (1)∴2(x−6)+3(y−10)=0

よって、ある整数m、nを用いてx−6=3m、y−10=2nと置くことができて、与式に代入すると6m=−6n   ∴m=−nとなるから、(1)を満たすすべての整数解は{x=3m+6z=−2m+10 (m∈Z)と表される。よって積 xy は

xy=(3m+6)(−2m+10)=−6(m−5)(m+2)=−6(m2−3m−10)=−6{(m−32)2−494}

よって積 xy が最大となるのは m=1、2 のとき、即ち (x,y)=(9,8)、(12,6) のときであり、最大値は72である。

（答）(x,y)=(9,8)、(12,6) のとき、最大値 72

《コメント》

与式の変形は 2x+3(y−14)=0 とか 2(x−21)+3y=0 としても可能です。どんな変形でも解答できます。

１次不定方程式のおさらいは取り敢えずここで終了しておきます。次からは本格的に不定方程式を扱っていきます。

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