問題#C007 ★★☆☆
次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。
（１）$x^3+x^2+xy+y-3=0$
（２）$x^2y+y-10=0$
（３）$x^3+2x^2y+xy+2y^2-6=0$
（４）$2x^2+2xy-4x+y^2+3=0$
《ポイント》
次数が上がり解きにくくなりました。何とか因数分解を試みます。場合によっては平方完成しなければならないこともあります。
《解答例》
（１）
$\begin{align}
x^3+x^2+xy+y-3 &=0 \\
\therefore (x+1)(x^2+y)&=3
\end{align}$
よって$(x+1,x^2+y)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,\pm 3)$、$(\pm 3,\pm 1)$ （複号同順）
故に求める整数組は
$(x,y)=(-4,-17)$、$(-2,-7)$、$(0,3)$、$(2,-3)$
となる。
（答）$(x,y)=(-4,-17)$、$(-2,-7)$、$(0,3)$、$(2,-3)$
（２）
$\begin{align}
x^2y+y-10 &=0 \\
\therefore (x^2+1)y&=10
\end{align}$
よって$(x^2+1,y)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(1,10)$、$(2,5)$、$(5,2)$、$(10,1)$
故に求める整数組は
$(x,y)=(0,10)$、$(\pm 1,5)$、$(\pm 2,2)$、$(\pm 3,1)$
となる。
（答）$(x,y)=(0,10)$、$(\pm 1,5)$、$(\pm 2,2)$、$(\pm 3,1)$
（３）
$\begin{align}
x^3+2x^2y+xy+2y^2-6 &=0 \\
\therefore (x+2y)(x^2+y)&=6
\end{align}$
よって$(x+2y,x^2+y)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,\pm 6)$、$(\pm 2,\pm 3)$、$(\pm 3,\pm 2)$、$(\pm 6,\pm 1)$ （複号同順）
$(x+2y,x^2+y)=(1,6)$ のとき$$2(x^2+y)-(x+2y)=12-1$$ $$\therefore 2x^2-x-11=0$$を得るが、これは整数解を持たないので不適。同様にして順次調べると適する組は $(x+2y,x^2+y)=(3,2)$ のときのみで、$(x,y)=(1,1)$ を得る。
故に求める整数組は
$(x,y)=(1,1)$
となる。
（答）$(x,y)=(1,1)$
（４）
$\begin{align}
2x^2+2xy-4x+y^2+3 &=0 \\
\therefore (x+y)^2+(x-2)^2&=1
\end{align}$
左辺は$0$以上だから$(x+y,x-2)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,0)$、$(0,\pm 1)$
故に求める整数組は
$(x,y)=(1,-1)$、$(2,-1)$、$(2,-3)$、$(3,-3)$
となる。
（答）$(x,y)=(1,-1)$、$(2,-1)$、$(2,-3)$、$(3,-3)$
《コメント》
問題のレベルは★×２としていますが、なかなか気付きにくい式変形が必要なので実際には★×３くらいの難しさです。因数分解の基本は「同じものを作ってまとめる」です。平方完成させるタイプ（円・楕円タイプ）はなかなか難しく、入試でもそれほど頻繁には登場しません。因数分解が難しければこのタイプを疑いましょう。