問題#C018

問題#C018　★★★☆

$m$ は負でない整数とする。3次方程式 $x^3-3m^{2}x+18m=0$ がただ一つの整数解を持ち、それ以外に実数解を持たないような $m$ をすべて求めよ。

---

《ポイント》

3次方程式の問題では解の公式が使えません（普通は）。そのため

①増減を調べる

②解と係数の関係を使う

③その他（因数分解、分数式にする･･･など）

という解法パターンが考えられます。本問のように虚数解を相手にするときはまず「①増減を調べる」の方針で$m$を絞り込むことを考えましょう。いきなり解と係数の関係に飛びつくと、3文字を一遍に扱わなければならず、上手く文字を消去できないと計算が泥沼化してしまいます。こういうときには一旦引き返す勇気も大切です。

---

《解答例》

3次方程式 $x^3-3m^{2}x+18m=0$ の左辺を$f(x)$と置くと、$$f^{\prime }(x)=3(x+m)(x-m)$$となる。$m=0$ のとき $f(x)=0$ はただ一つの整数解 $x=0$ を持つので、以下、$m>0$ として考える。このとき増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-m$	$\cdots$	$m$	$\cdots$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2197.svg">$	極大	$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2198.svg">$	極小	$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2197.svg">$

極大値について、$f(-m)=2m(m^2+9)>0$ より、方程式 $f(x)=0$ がただ一つの整数解を持つためには極小値が$0$より大きくなければならない。故に$$f(m)=-2m(m-3)(m+3)>0$$ $$\therefore 0<m<3$$が必要である。よって $m=1、2$ に限られる。

$m=1$ のとき、$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^3-3x+18\\ & =(x+3)(x^2-3x+6)\end{array}$$となり、方程式 $f(x)=0$ はただ一つの整数解 $x=-3$ を持つ。

$m=2$ のとき、$$f(x)=x^3-12x+36$$ となるので方程式 $f(x)=0$ は整数解を持たない。

以上より、求める非負整数$m$は$$m=0、1$$である。

（答）$m=0、1$

---

《コメント》

$m=0$ のときを忘れないようにしましょう。また「負でない」という条件を取り払えば $m=-1$ も題意を満たします。

（出典：大阪大1991年文系第3問）

---

戻る