問題#C019 ★★☆☆
等式 $3x^2+y^2+5z^2-2yz-12=0$ を満たす負でない整数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ。
《ポイント》
多変数の方程式は2次方程式なら解の公式、因数分解、大小関係による不等関係などで解決できますが、本問は平方完成によりあっさり解決します。
《解答例》
$$3x^2+y^2+5z^2-2yz-12=0$$ $$\therefore 3x^2+(y-z)^2+4z^2=12$$となる。ここで $z \geqq 2$ とすると左辺は$12$より大きくなるから $z \leqq 1$ が必要である。
ⅰ）$z=0$ のとき、与式は$$3x^2+y^2=12$$となる。ここで $x \geqq 3$ とすると左辺は$12$より大きくなるから $x \leqq 2$ が必要である。
$x=0$ のとき、これを満たす$y$は存在しない。
$x=1$ のとき、$y=3$はこれを満たす。
$x=2$ のとき、$y=0$はこれを満たす。
よって $(x,y,z)=(1,3,0)$、$(2,0,0)$ は求める整数組である。
ⅱ）$z=１$ のとき、与式は$$3x^2+(y-1)^2=8$$となるが、これを満たす $x、y$ は存在しない。
以上より、求める整数組$(x,y,z)$は
$(x,y,z)=(1,3,0)$、$(2,0,0)$
である。
（答）$(x,y,z)=(1,3,0)$、$(2,0,0)$
《コメント》
$xy$や$yz$など、2変数の積の項があったら平方完成も視野に式変形しましょう。因みに与式を座標空間における曲面の方程式と捉えると、与式で表される方程式は楕円の軸まわりの回転体になっています。私たちが求めていたのはこの回転体の表面上に存在する各座標が非負の格子点ということができます。
（出典：愛媛大2002年理系第5問(a)）