問題#A012 ★★☆☆
ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$に$9$を掛けると各位の数が反転して$\overline{dcba}$になるという。このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。
《ポイント》
こういう問題では端の数から絞り込むのが鉄則です。まずは$9$を掛けても$4$桁の整数であるという条件から絞り込んでいきます。さらに$\overline{dcba}$がある自然数の倍数になっていることに着目して候補を絞ります。
《解答例》
$a$が$2$以上のとき、$\overline{abcd}$に$9$を掛けると$5$桁の整数になってしまうから$a=1$であり、条件より$d=9$と定まる。よって$$\overline{abcd}=\overline{1bc9}$$と表せる。
また、$b$が$2$以上のとき、$\overline{1bc9}$に$9$を掛けると$5$桁の整数になってしまうから$b=0,1$に限られる。
さらに、$\overline{dcba}$は$9$の倍数であるから各位の数の和$$a+b+c+d \ (=b+c+10)$$も$9$の倍数でなければならず、$b+c=8$に限られる $(\because b<2)$ 。
故にこれらの条件を満たす整数は$1089$、$1179$の２つに限られるが、$1089 \cdot 9=9801$、$1179 \cdot 9=10611$より、$1089$のみ適する。
（答）$1089$
《コメント》
$1000a+100b+10c+d$などとしても解答を作れます。いずれにせよ$a=1$はすぐに気付けなければなりません。