整数第3章第1節A-1

A 倍数と約数の問題


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問題一覧(#A001~#A020)

問題番号の横に星印で難しさの目安を示しておきますが、あまり気にしないで解いてみて下さい。(が多い=難しい)

最初から全問正解出来る人なんていません!解答を読み漁るだけでも勉強になりますから、取り敢えず一周してみることが重要です。特に整数問題に苦手意識がある人は先に「整数第2章」の内容を流し読んでおくと良いでしょう。

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問題#A001 ★☆☆☆

$100!$の末尾には$0$が何個連なるか。

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» 問題#A002


問題#A002 ★☆☆☆

$180$の正の約数の個数と、正の約数の総和を求めよ。

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問題#A003 ★☆☆☆

$3^{12}-1$の素因数のうち最大のものを求めよ。

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» 問題#A004


問題#A004 ★☆☆☆

ある正の整数$n$で$2520$を割ると、ちょうど平方数(整数の2乗)になるという。このような$n$の最小値を求めよ。また、 ある正の整数$N$を$2520$に乗じると、ちょうど平方数になるという。このような$N$の最小値を求めよ。

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問題#A005 ★★☆☆

正の約数の個数が$8$個で、正の約数の総和が$72$であるような正の整数$n$を求めよ。 ただし正の約数には$n$と$1$を含めるものとする。

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» 問題#A006


問題#A006 ★☆☆☆

素数が無数に存在することを示せ。

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» 問題#A007


問題#A007 ★☆☆☆

隣接する2つの整数は互いに素であることを示せ。また、隣接する2つの奇数は互いに素であることを示せ。

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» 問題#A008


問題#A008 ★☆☆☆

$n^4-3n^2+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。

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» 問題#A009


問題#A009 ★★☆☆

$8n-2n^3$は$6$の倍数であることを示せ。

また、$m^3 n-mn^3$は任意の整数$m$、$n$に対して$6$の倍数であることを示せ。

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» 問題#A010


問題#A010 ★☆☆☆

$123456789$は$9$の倍数であることを示せ。

次に、整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることを示せ。また、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることを示せ。

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» 問題#A011


問題#A011 ★★☆☆

正の整数$n$が完全平方数であることと、正の整数$n$の約数の個数が奇数であることは同値であることを示せ。

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» 問題#A012


問題#A012 ★★☆☆

ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$に$9$を掛けると各位の数が反転して$\overline{dcba}$になるという。このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。

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» 問題#A013


問題#A013 ★★★☆

ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は上$2$桁の数$\overline{ab}$の2乗と下$2$桁の数$\overline{cd}$の2乗の和に等しい。つまり、等式$$\overline{abcd}=\overline{ab}^2+\overline{cd}^2$$が成立する。このような整数$abcd$をすべて求めよ。

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» 問題#A014


問題#A014 ★★★☆

ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は上$2$桁の数$\overline{ab}$と下$2$桁の数$\overline{cd}$の和の2乗に等しい。つまり、等式$$\overline{abcd}=\left( \overline{ab}+\overline{cd} \right)^2$$が成立する。このような整数$abcd$をすべて求めよ。

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» 問題#A015


問題#A015 ★★★☆

ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は、各位の数を反転させてできる$4$桁の整数$\overline{dcba}$の倍数になるという。ただし$\overline{abcd} \ne \overline{dcba}$とする。

(1)$1 \leqq d \leqq 4$を示せ。

(2)このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。

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» 問題#A016


問題#A016 ★★☆☆

正の整数の2乗となる数を平方数という。

(1)$\overline{aabb}$と表される$4$桁の平方数をすべて求めよ。

(2)$\overline{cccddd}$と表される$6$桁の平方数は存在しないことを示せ。

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» 問題#A017


問題#A017 ★☆☆☆

$n+1$ と $2n+3$ は互いに素であることを示せ。

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» 問題#A018


問題#A018 ★☆☆☆

すべての自然数$n$に対して$\dfrac{21n+4}{14n+3}$が既約分数であることを示せ。

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» 問題#A019


問題#A019 ★★☆☆

(1)$\dfrac{2n}{n+4}$が整数となるような整数$n$をすべて求めよ。

(2)$\dfrac{n^2+2n}{n+4}$が整数となるような整数$n$をすべて求めよ。

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» 問題#A020


問題#A020 ★★☆☆

$n$を正の整数とする。

(1)$n^2$ と $2n+1$ は互いに素であることを示せ。

(2)$n^2+2$ が $2n+1$ の倍数になる$n$をすべて求めよ。

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